高等应用数学问题的MATLAB求解（第五版）

　　本书首先介绍MATLAB语言程序设计的基本内容，在此基础上系统介绍各个应用数学领域的问题求解，如基于MATLAB的微积分问题、线性代数问题、积分变换与复变函数问题、非线性方程与**化问题、常微分方程与偏微分方程问题、数据插值与函数逼近问题、概率论与数理统计问题的解析解和数值解方法等；还介绍了较新的非传统方法，如模糊逻辑与模糊推理、神经网络、深度学习、进化寻优算法、小波分析、粗糙集数据处理及分数阶微积分的计算方法等。 本书可作为一般读者学习和掌握MATLAB语言的教科书，高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材或参考书，可供科技工作者、教师学习和应用MATLAB语言解决实际数学问题时参考，还可作为读者查询数学问题求解方法的手册。

　　薛定宇 分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年起任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB语言与应用》（该教材被评为精品教材，被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用）。先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得教学成果二等奖、中国自动化学会教育教学成果一等奖、辽宁省教学成果一等奖等奖励。主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为精品课程、精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程入选首批一流本科课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国大学MOOC（慕课）网站。

第 1章计算机数学语言概述  1 
1.1数学问题计算机求解概述  1 
1.1.1为什么要学习计算机数学语言  1 
1.1.2数学问题的解析解与数值解  4 
1.1.3数学运算问题软件包发展概述  5 
1.1.4常规计算机语言的局限性  6 
1.2计算机数学语言简介  7 
1.2.1计算机数学语言的出现 7 
1.2.2有代表性的计算机数学语言  8 
1.3关于本书及相关内容  8 
1.3.1本书框架设计及内容安排  9 
1.3.2 MATLAB语言学习方法与资源  9 
1.3.3本课程与其他相关课程的关系  10 
1.3.4数学问题三步求解方法概述  10 
1.4习题  12
第 2章 MATLAB语言程序设计基础  13 
2.1 MATLAB程序设计语言基础  14 
2.1.1 MATLAB语言的变量与常量  14 
2.1.2数据结构  14 
2.1.3 MATLAB的基本语句结构  16 
2.1.4冒号表达式与子矩阵提取  17 
2.2基本数学运算  18 
2.2.1矩阵的算术运算  18 
2.2.2矩阵的逻辑运算  20 
2.2.3矩阵的比较运算  20 
2.2.4解析结果的化简与变换 21 
2.2.5基本离散数学运算  22 
2.3 MATLAB语言的流程结构  23 
2.3.1循环结构  24 
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2.3.2条件转移结构 25 
2.3.3开关结构  25 
2.3.4试探结构  26 
2.4函数编写与调试  26 
2.4.1 MATLAB语言函数的基本结构  27 
2.4.2变元检测段落 29 
2.4.3可变输入输出个数的处理  30 
2.4.4匿名函数与 inline函数  31 
2.4.5伪代码与代码保密处理 31 
2.5二维图形绘制  32 
2.5.1二维图形绘制基本语句 32 
2.5.2多纵轴曲线的绘制  34 
2.5.3其他二维图形绘制语句 35 
2.5.4隐函数绘制及应用  36 
2.5.5图形修饰  37 
2.5.6数据文件的读取与存储 38 
2.6三维图形表示  39 
2.6.1三维曲线绘制 39 
2.6.2三维曲面绘制 40 
2.6.3三维图形视角设置  43 
2.6.4参数方程的表面图  44 
2.6.5球面与柱面绘制  44 
2.6.6等高线绘制  45 
2.6.7三维隐函数图形绘制  46 
2.6.8三维曲面的旋转  47 
2.7四维图形绘制  48 
2.7.1三维动画  48 
2.7.2体视化数据显示  48 
2.7.3体视化处理工具  49 
2.8面向对象编程入门 50 
2.8.1面向对象编程的基本概念  50 
2.8.2类的设计  51 
2.8.3类的创建及对象显示  52 
2.8.4重载函数的编写  54 
2.9习题  57
第 3章微积分问题的计算机求解  62 
3.1极限问题的解析解 62 
3.1.1单变量函数的极限  63 
3.1.2多元函数的极限  65 
3.2函数导数的解析解 67 
3.2.1函数的导数和高阶导数 67 
3.2.2多元函数的偏导数  68 
3.2.3多元函数的 Jacobi矩阵与 Hesse矩阵  70 
3.2.4参数方程的导数  71 
3.2.5隐函数的偏导数  71 
3.2.6场的梯度、散度与旋度  73 
3.3积分问题的解析解 73 
3.3.1不定积分的推导  74 
3.3.2定积分与无穷积分计算 75 
3.3.3多重积分问题的 MATLAB求解  75 
3.4函数的级数展开与级数求和问题求解 76 
3.4.1 Taylor幂级数展开  76 
3.4.2 Fourier级数展开  79 
3.4.3级数求和的计算  81 
3.4.4序列求积问题 82 
3.4.5无穷级数的收敛性判定 83 
3.5曲线积分与曲面积分的计算 85 
3.5.1曲线积分及 MATLAB求解 85 
3.5.2曲面积分与 MATLAB语言求解  87 
3.6数值微分问题  88 
3.6.1数值微分算法 88 
3.6.2高精度数值微分算法的 MATLAB实现  88 
3.6.3二元函数的梯度计算  89 
3.7数值积分问题  91 
3.7.1由给定数据进行梯形求积  91 
3.7.2单变量数值积分问题求解  93 
3.7.3广义数值积分问题求解 95 
3.7.4积分函数的数值求解  96 
3.7.5双重积分问题的数值解 96 
3.7.6三重定积分的数值求解 99 
3.7.7多重积分数值求解  99 
3.8习题  100
第 4章线性代数问题的计算机求解  106 
4.1特殊矩阵的输入  106 
4.1.1数值矩阵的输入  107 
4.1.2稀疏矩阵的输入  110 
XII高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 
4.1.3符号矩阵的输入  111 
4.2矩阵基本分析  112 
4.2.1矩阵基本概念与性质  112 
4.2.2逆矩阵与广义逆矩阵  117 
4.2.3矩阵的特征值问题  121 
4.3矩阵的基本变换与分解  123 
4.3.1相似变换与正交矩阵  123 
4.3.2矩阵的三角分解和 Cholesky分解  123 
4.3.3矩阵的相伴变换、对角变换和 Jordan变换  128 
4.3.4矩阵的奇异值分解  131 
4.4矩阵方程的计算机求解  133 
4.4.1线性方程组的计算机求解  133 
4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解  136 
4.4.3 Sylvester方程的计算机求解  139 
4.4.4 Diophantine方程的求解  141 
4.4.5 Riccati方程的计算机求解  142 
4.5非线性运算与矩阵函数求值 143 
4.5.1面向矩阵元素的非线性运算  143 
4.5.2矩阵函数求值 143 
4.5.3一般矩阵函数的运算  146 
4.5.4矩阵的乘方运算  148 
4.6习题  150
第 5章积分变换与复变函数问题的计算机求解  155 
5.1 Laplace变换及其反变换  155 
5.1.1 Laplace变换及其反变换的定义与性质  155 
5.1.2 Laplace变换的计算机求解  156 
5.1.3 Laplace变换问题的数值求解  158 
5.2 Fourier变换及其反变换 161 
5.2.1 Fourier变换及其反变换的定义  161 
5.2.2 Fourier变换的计算机求解  162 
5.2.3 Fourier正弦变换和余弦变换 163 
5.2.4离散 Fourier正弦变换和余弦变换  164 
5.2.5快速 Fourier变换  164 
5.3其他积分变换问题及求解  165 
5.3.1 Mellin变换 165 
5.3.2 Hankel变换及求解  166 
5.4 z变换及其反变换  167 
5.4.1 z变换及其反变换的定义  168 
5.4.2 z变换的计算机求解  168 
5.4.3双边 z变换 169 
5.4.4有理函数 z反变换的数值求解  169 
5.5复变函数问题的计算机求解 170 
5.5.1复数矩阵及其变换  170 
5.5.2复变函数的映射  170 
5.5.3 Riemann面绘制  171 
5.6复变函数问题的求解  173 
5.6.1留数的概念与计算  173 
5.6.2有理函数的部分分式展开  174 
5.6.3 Laplace反变换求解  177 
5.6.4 Laurent级数展开  177 
5.6.5封闭曲线积分问题计算 180 
5.7差分方程的求解  181 
5.7.1一般差分方程的解析求解方法  182 
5.7.2线性时变差分方程的数值解法  183 
5.7.3线性时不变差分方程的解法  184 
5.7.4一般非线性差分方程的数值求解方法  185 
5.8习题  186
第 6章代数方程与化问题的计算机求解  191 
6.1代数方程的求解  191 
6.1.1代数方程的图解法  191 
6.1.2多项式型方程的准解析解法  192 
6.1.3一般非线性方程数值解 195 
6.1.4求解多解方程的全部解 197 
6.1.5更高精度的求根方法  201 
6.1.6欠定方程的求解  203 
6.2无约束化问题求解  204 
6.2.1解析解法和图解法  204 
6.2.2基于 MATLAB的数值解法 205 
6.2.3全局解与全局解法  207 
6.2.4利用梯度求解化问题  209 
6.2.5带有变量边界约束的化问题求解  211 
6.3有约束化问题的计算机求解  211 
6.3.1约束条件与可行解区域 211 
6.3.2线性规划问题的计算机求解  212 
6.3.3二次型规划的求解  217 
6.3.4基于问题的描述与求解 217 
XIV高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 
6.3.5一般非线性规划问题的求解  219 
6.3.6一般非线性规划问题的全局解尝试  223 
6.4混合整数规划问题的计算机求解  223 
6.4.1整数规划问题的穷举方法  224 
6.4.2整数线性规划问题的求解  225 
6.4.3一般非线性整数规划问题与求解 226 
6.4.4 0–1规划问题求解  228 
6.4.5指派问题的求解  230 
6.5线性矩阵不等式问题求解  231 
6.5.1线性矩阵不等式的一般描述  232 
6.5.2 Lyapunov不等式  232 
6.5.3线性矩阵不等式问题分类  234 
6.5.4线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解  234 
6.5.5基于 YALMIP工具箱的化求解方法  236 
6.6多目标优化问题求解  237 
6.6.1多目标优化模型  237 
6.6.2无约束多目标函数的小二乘求解  238 
6.6.3多目标问题转换为单目标问题求解  238 
6.6.4多目标优化问题的 Pareto解集  241 
6.6.5极小极大问题求解  242 
6.6.6目标规划问题求解  243 
6.7动态规划及其在路径规划中的应用  243 
6.7.1图的矩阵表示方法  244 
6.7.2有向图的路径寻优  244 
6.7.3无向图的路径搜索 247 
6.7.4坐标节点的路径规划算法与应用 247 
6.8习题  248
第 7章微分方程问题的计算机求解  254 
7.1常系数线性微分方程的解析解方法  254 
7.1.1常系数线性微分方程解析解的数学描述  254 
7.1.2微分方程的解析解方法 255 
7.1.3微分方程组的解析求解 257 
7.1.4线性状态空间方程的解析解  258 
7.1.5特殊非线性微分方程的解析解  258 
7.2微分方程问题的数值解法  259 
7.2.1微分方程问题算法概述 259 
7.2.2四阶定步长 Runge–Kutta算法及 MATLAB实现 261 
7.2.3一阶微分方程组数值解 261 
7.2.4微分方程数值解的验证 265 
7.3微分方程转换  266 
7.3.1单个高阶常微分方程处理方法  266 
7.3.2高阶常微分方程组的变换方法  268 
7.3.3矩阵微分方程的变换与求解方法 271 
7.4特殊微分方程的数值解  273 
7.4.1刚性微分方程的求解  274 
7.4.2隐式微分方程求解  277 
7.4.3微分代数方程的求解  279 
7.4.4切换微分方程的求解  281 
7.4.5随机线性微分方程的求解  282 
7.5延迟微分方程求解 284 
7.5.1典型延迟微分方程的数值求解  284 
7.5.2变时间延迟微分方程的求解  286 
7.5.3中立型延迟微分方程的求解  288 
7.6边值问题的计算机求解  289 
7.7偏微分方程求解入门  292 
7.7.1偏微分方程组求解  292 
7.7.2二阶偏微分方程的数学描述  294 
7.7.3偏微分方程的求解界面应用举例 295 
7.8基于 Simulink的微分方程框图求解  300 
7.8.1 Simulink简介 300 
7.8.2 Simulink相关模块  301 
7.8.3微分方程的 Simulink建模与求解  302 
7.9习题  308
第 8章数据插值与函数逼近问题的计算机求解  313 
8.1插值与数据拟合  313 
8.1.1一维数据的插值问题  313 
8.1.2已知样本点的定积分计算  316 
8.1.3二维网格数据的插值问题  318 
8.1.4二维散点分布数据的插值问题  319 
8.1.5高维插值问题 321 
8.1.6基于样本数据点的离散化问题求解  322 
8.2样条插值与数值微积分问题求解  323 
8.2.1样条插值的 MATLAB表示 323 
8.2.2基于样条插值的数值微积分运算 325 
8.3由已知数据拟合数学模型  328 
8.3.1多项式拟合  328 
XVI高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 
8.3.2函数线性组合的曲线拟合方法  329 
8.3.3小二乘曲线拟合  331 
8.3.4多变量函数的小二乘函数拟合 333 
8.4已知函数的有理式逼近方法 333 
8.4.1 Padé近似 333 
8.4.2给定函数的特殊多项式近似  335 
8.5特殊函数及曲线绘制  337 
8.5.1误差函数与补误差函数 337 
8.5.2 Gamma函数  338 
8.5.3 Beta函数  339 
8.5.4 Bessel函数 340 
8.5.5 Legendre函数  341 
8.5.6超几何函数  342 
8.6 Mittag-Leffler函数  343 
8.7信号分析与数字信号处理基础  347 
8.7.1信号的相关分析  347 
8.7.2信号的功率谱分析  348 
8.7.3滤波技术与滤波器设计 349 
8.8习题  352
第 9章概率论与数理统计问题的计算机求解  355 
9.1概率分布与伪随机数生成  355 
9.1.1概率密度函数与分布函数概述  355 
9.1.2常见分布的概率密度函数与分布函数  356 
9.1.3随机数与伪随机数生成 361 
9.2概率问题的求解  361 
9.2.1离散数据的直方图与饼图表示  361 
9.2.2连续事件的概率计算  363 
9.2.3基于 Monte Carlo法的数学问题求解  364 
9.2.4随机游走过程的仿真  365 
9.3基本统计分析  366 
9.3.1随机变量的均值与方差 366 
9.3.2随机变量的矩 367 
9.3.3多变量随机数的协方差分析  368 
9.3.4多变量正态分布的联合概率密度函数及分布函数  369 
9.3.5离群值、四分位数与盒子图  370 
9.4数理统计分析方法及计算机实现  372 
9.4.1参数估计与区间估计  372 
9.4.2多元线性回归与区间估计  373 
9.4.3非线性函数的小二乘参数估计与区间估计  375 
9.4.4极大似然估计 377 
9.5统计假设检验  378 
9.5.1统计假设检验的概念及步骤  378 
9.5.2随机分布的假设检验  380 
9.6方差分析与主成分分析  382 
9.6.1方差分析  382 
9.6.2主成分分析  386 
9.7习题  388
第 10章数学问题的非传统解法  391 
10.1集合论、模糊集与模糊推理 391 
10.1.1经典可枚举集合论问题及 MATLAB求解  391 
10.1.2模糊集合与隶属度函数  393 
10.1.3模糊推理系统及其 MATLAB求解 397 
10.2粗糙集理论与应用  400 
10.2.1粗糙集理论简介  400 
10.2.2粗糙集的基本概念  400 
10.2.3信息决策系统  401 
10.2.4粗糙集数据处理问题的 MATLAB求解  403 
10.2.5粗糙集约简的 MATLAB程序界面 405 
10.3人工神经网络与深度学习 406 
10.3.1神经网络基础知识  406 
10.3.2前馈型神经网络  408 
10.3.3径向基网络结构与应用  414 
10.3.4深度学习简介  415 
10.4进化算法及其在化问题中的应用  419 
10.4.1遗传算法的基本概念及 MATLAB实现  419 
10.4.2 MATLAB全局优化工具箱简介 420 
10.4.3无约束化的全局求解  421 
10.4.4有约束优化问题的全局求解  423 
10.4.5混合整数规划的全局求解  424 
10.5小波变换及其在数据处理中的应用 425 
10.5.1小波变换及基小波波形  425 
10.5.2小波变换技术在信号处理中的应用  428 
10.5.3小波问题的程序界面  431 
10.6分数阶微积分学问题的数值运算  431 
10.6.1分数阶微积分的定义  432 
10.6.2不同分数阶微积分定义的关系与性质  433 
XVIII高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 
10.6.3分数阶微积分的计算方法  434 
10.6.4分数阶微分方程的求解方法  439 
10.6.5基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法  443 
10.7习题  447
参考文献  451 
MATLAB函数名索引  457
术语索引  464