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矩阵力量:线性代数全彩图解+微课+Python编程

矩阵力量:线性代数全彩图解+微课+Python编程

作者:姜伟生

出版社:清华大学出版社

出版时间:2023-06-01

ISBN:9787302632511

定价:¥258.00

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内容简介
  数据科学和机器学习已经深度融合到我们生活的方方面面,而数学正是开启未来大门的钥匙。不是所 有人生来都握有一副好牌,但是掌握“数学 编程 机器学习”是**。这一次,学习数学不再是为了考试、分数、升学,而是投资时间、自我实现、面向未来。为了让大家学数学、用数学,甚至爱上数学, 在创作这套书时,作者尽量克服传统数学教材的各种弊端,让大家学习时有兴趣、看得懂、有思考、更自信、用得着。 鸢尾花书有三大板块——编程、数学、实践。数据科学、机器学习的各种算法离不开数学,本册《矩阵力量》是“数学”板块的第 2 本,主要介绍常用线性代数工具。任何数学工具想要从一元推广到多元,比如多元微积分、多元统计,都绕不开线性代数。 《矩阵力量:线性代数全彩图解 微课 Python编程》共 25 章内容,可以归纳为 7 大板块:向量、矩阵、向量空间、矩阵分解、微积分、空间几何、数据。《矩阵力量:线性代数全彩图解 微课 Python编程》在讲解线性代数工具时,会穿插介绍其在数据科学和机器学习领域的应用场景,让大家学以致用。《矩阵力量:线性代数全彩图解 微课 Python编程》读者群包括所有在工作中应用数学的朋友,尤其适用于初级程序员进阶,大学本科数学开窍,高级数据分析师,人工智能开发者。
作者简介
  姜伟生博士 FRM。勤奋的小镇做题家,热爱知识可视化和开源分享。自2022年8月开始,在GitHub上开源“鸢尾花书”学习资源,截至2023年6月,已经分享3000多页PDF、3000多幅矢量图、约1000个代码文件,全球读者数以万计。
目录
绪论 1
第1章 不止向量 7
1.1 有数据的地方,必有矩阵 8
1.2 有矩阵的地方,更有向量 10
1.3 有向量的地方,就有几何 12
1.4 有几何的地方,皆有空间 17
1.5 有数据的地方,定有统计 20
第2章 向量运算 23
2.1 向量:多面手 25
2.2 行向量、列向量 27
2.3 向量长度:模,欧氏距离,L2范数 31
2.4 加减法:对应位置元素分别相加减 35
2.5 标量乘法:向量缩放 36
2.6 向量内积:结果为标量 37
2.7 向量夹角:反余弦 43
2.8 余弦相似度和余弦距离 45
2.9 向量积:结果为向量 47
2.10 逐项积:对应元素分别相乘 50
2.11 张量积:张起网格面 51
第3章 向量范数 57
3.1 Lp范数:L2范数的推广 58
3.2 Lp范数和超椭圆的联系 61
3.3 L1范数:旋转正方形 64
3.4 L2范数:正圆 66
3.5 L∞范数:正方形 69
3.6 再谈距离度量 71
第4章 矩阵 77
4.1 矩阵:一个不平凡的表格 79
4.2 矩阵形状:每种形状都有特殊用途 81
4.3 基本运算:加减和标量乘法 85
4.4 广播原则 86
4.5 矩阵乘法:线性代数的运算核心 88
4.6 两个视角解剖矩阵乘法 90
4.7 转置:绕主对角线镜像 92
4.8 矩阵逆:“相当于”除法运算 94
4.9 迹:主对角元素之和 95
4.10 逐项积:对应元素相乘 97
4.11 行列式:将矩阵映射到标量值 98
第5章 矩阵乘法 105
5.1 矩阵乘法:形态丰富多样 107
5.2 向量和向量 107
5.3 再聊全1列向量 112
5.4 矩阵乘向量:线性方程组 116
5.5 向量乘矩阵乘向量:二次型 120
5.6 方阵乘方阵:矩阵分解 123
5.7 对角阵:批量缩放 124
5.8 置换矩阵:调换元素顺序 127
5.9 矩阵乘向量:映射到一维 128
5.10 矩阵乘矩阵:映射到多维 130
5.11 长方阵:奇异值分解、格拉姆矩阵、张量积 133
5.12 爱因斯坦求和约定 136
5.13 矩阵乘法的几个雷区 138
第6章 分块矩阵 143
6.1 分块矩阵:横平竖直切豆腐 145
6.2 矩阵乘法视角:标量积展开 149
6.3 矩阵乘法第二视角:外积展开 150
6.4 矩阵乘法更多视角:分块多样化 154
6.5 分块矩阵的逆 160
6.6 克罗内克积:矩阵张量积 160
第7章 向量空间 165
7.1 向量空间:从直角坐标系说起 166
7.2 给向量空间涂颜色:RGB色卡 178
7.3 张成空间:线性组合红、绿、蓝三原色 179
7.4 线性无关:红色和绿色,调不出青色 183
7.5 非正交基底:青色、品红、黄色 184
7.6 基底转换:从红、绿、蓝,到青色、品红、黄色 187
第8章 几何变换 189
8.1 线性变换:线性空间到自身的线性映射 191
8.2 平移:仿射变换,原点变动 195
8.3 缩放:对角阵 196
8.4 旋转:行列式值为1 200
8.5 镜像:行列式值为负 205
8.6 投影:降维操作 207
8.7 再谈行列式值:几何视角 208
第9章 正交投影 215
9.1 标量投影:结果为标量 217
9.2 向量投影:结果为向量 218
9.3 正交矩阵:一个规范正交基 222
9.4 规范正交基性质 226
9.5 再谈镜像:从投影视角 229
9.6 格拉姆-施密特正交化 231
9.7 投影视角看回归 233
第10章 数据投影 241
10.1 从一个矩阵乘法运算说起 242
10.2 二次投影 层层叠加 245
10.3 二特征数据投影:标准正交基 249
10.4 二特征数据投影:规范正交基 254
10.5 四特征数据投影:标准正交基 259
10.6 四特征数据投影:规范正交基 263
10.7 数据正交化 269
第11章 矩阵分解 277
11.1 矩阵分解:类似因式分解 278
11.2 LU分解:上下三角 279
11.3 Cholesky分解:适用于正定矩阵 280
11.4 QR分解:正交化 282
11.5 特征值分解:刻画矩阵映射的特征 286
11.6 奇异值分解:适用于任何实数矩阵 290
第12章 Cholesky分解 295
12.1 Cholesky分解 296
12.2 正定矩阵才可以进行Cholesky分解 297
12.3 几何角度:开合 299
12.4 几何变换:缩放 → 开合 302
12.5 推广到三维空间 305
12.6 从格拉姆矩阵到相似度矩阵 309
第13章 特征值分解 313
13.1 几何角度看特征值分解 315
13.2 旋转 → 缩放 → 旋转 317
13.3 再谈行列式值和线性变换 320
13.4 对角化、谱分解 323
13.5 聊聊特征值 328
13.6 特征值分解中的复数现象 330
第14章 深入特征值分解 333
14.1 方阵开方 334
14.2 矩阵指数:幂级数的推广 335
14.3 斐波那契数列:求通项式 337
14.4 马尔科夫过程的平稳状态 339
14.5 瑞 利商 342
14.6   再谈椭圆:特征值分解 346
第15章 奇异值分解 353
15.1 几何视角:旋转 → 缩放 → 旋转 355
15.2 不同类型SVD分解 359
15.3 左奇异向量矩阵U 360
15.4 右奇异向量矩阵V 363
15.5 两个视角:投影和数据叠加 365
第16章 深入奇异值分解 369
16.1 完全型:U为方阵 371
16.2 经济型:S去掉零矩阵,变方阵 372
16.3 紧凑型:非满秩 373
16.4 截断型:近似 374
16.5 数据还原:层层叠加 375
16.6 估计与误差:截断型SVD 379
16.7 正交投影:数据正交化 382
第17章 多元函数微分 387
17.1 偏导:特定方向的变化率 388
17.2 梯度向量:上山方向 392
17.3 法向量:垂直于切平面 396
17.4 方向性微分:函数任意方向的变化率 398
17.5 泰勒展开:一元到多元 402
第18章 拉格朗日乘子法 407
18.1 回顾优化问题 408
18.2 等式约束条件 410
18.3 线性等式约束 414
18.4 非线性等式约束 415
18.5 不等式约束 417
18.6 再谈特征值分解:优化视角 420
18.7 再谈SVD:优化视角 423
18.8 矩阵范数:矩阵 → 标量,矩阵“大小” 426
18.9 再谈数据正交投影:优化视角 428
第19章 直线到超平面 437
19.1 切向量:可以用来定义直线 438
19.2 法向量:定义直线、平面、超平面 441
19.3 超平面:一维直线和二维平面的推广 443
19.4 平面与梯度向量 446
19.5 中垂线:用向量求解析式 451
19.6 用向量计算距离 453
第20章 再谈圆锥曲线 457
20.1 无处不在的圆锥曲线 459
20.2 正圆:从单位圆到任意正圆 460
20.3 单位圆到旋转椭圆:缩放 → 旋转 → 平移 463
20.4 多元高斯分布:矩阵分解、几何变换、距离 468
20.5 从单位双曲线到旋转双曲线 474
20.6 切线:构造函数,求梯度向量 476
20.7 法线:法向量垂直于切向量 479
第21章 曲面和正定性 481
21.1 正 定性 483
21.2 几何视角看正定性 485
21.3 开口朝上抛物面:正定 486
第22章 数据与统计 501
22.1 统计 线性代数:以鸢尾花数据为例 502
22.2 均值:线性代数视角 503
22.3 质心:均值排列成向量 505
22.4 中心化:平移 508
22.5 分类数据:加标签 510
22.6 方差:均值向量没有解释的部分 512
22.7 协方差和相关性系数 514
22.8 协方差矩阵和相关性系数矩阵 517
第23章 数据空间 523
23.1 从数据矩阵X说起 524
23.2 向量空间:从SVD分解角度理解 527
23.3 紧凑型SVD分解:剔除零空间 529
23.4 几何视角说空间 532
23.5 格拉姆矩阵:向量模、夹角余弦值的集合体 537
23.6 标准差向量:以数据质心为起点 540
23.7 白话说空间:以鸢尾花数据为例 543
第24章 数据分解 549
24.1 为什么要分解矩阵? 550
24.2 QR分解:获得正交系 555
24.3 Cholesky分解:找到列向量的坐标 557
24.4 特征值分解:获得行空间和零空间 559
24.5 SVD分解:获得四个空间 562
第25章 数据应用 567
25.1 从线性代数到机器学习 568
25.2 从随机变量的线性变换说起 572
25.3 单方向映射 574
25.4 线性回归 578
25.5 多方向映射 582
25.6 主成分分析 584
 
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