高等数学竞赛题解析教程（2022）

　　本书分为极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、二重积分和三重积分、曲线积分与曲面积分、空间解析几何、级数、微分方程等九个专题，每个专题又含“基本概念和内容提要”“竞赛题解析”“练习题”三个部分。书中竞赛题选自全国、江苏省、浙江省、上海市、北京市等省市普通高等学校非理科专业历届高等数学竞赛试题，南京大学等国内高校历年大学数学竞赛试题，以及莫斯科大学等国外高校大学生数学竞赛试题。另外，从近几年的硕士研究生入学考试试题中也挑选了部分好题，丰富了本书的内涵。

　　陈仲，南京大学数学系教授。曾任全国高等数学研究会常务理事，并参加国家理科“高等数学”试题库建设；曾任江苏省研究生入学考试数学阅卷领导小组副组长、江苏省普通高校高等数学竞赛命题组组长。曾获江苏省一类优秀课程奖，两次获江苏省优秀教学成果二等奖；曾获南京大学“十佳教师”，连续三年被南京大学学生评为“我最喜爱的老师”，获“浦苑恒星”。著作有《微分方程》《微积分学引论》（上、下册）《硕士生入学考试历年数学试题解析》《大学数学典型题解析》《大学数学教程》（上、下册）《微积分习题与试题解析教程》等。

专题1 极限与连续
1.1 基本概念与内容提要
1.1.1 一元函数基本概念
1.1.2 数列的极限
1.1.3 函数的极限
1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法
1.1.5 无穷小量
1.1.6 无穷大量
1.1.7 求数列或函数的极限的方法
1.1.8 函数的连续性
1.2 竞赛题与精选题解析
1.2.1 求函数的表达式(例1.1-1.3)
1.2.2 利用极限的性质与四则运算求极限(例1.4-1.14)
1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限(例1.15-1.19)
1.2.4 利用重要极限与等价无穷小替换求极限(例1.20-1.25)
1.2.5 无穷小比较与无穷大比较(例1.26-1.27)
1.2.6 连续性与间断点(例1.28-1.30)
1.2.7 利用介值定理的证明题(例1.31-1.35)
练习题一
专题2 一元函数微分学
2.1 基本概念与内容提要
2.1.1 导数的定义
2.1.2 左、右导数的定义
2.1.3 微分概念
2.1.4 基本初等函数的导数公式
2.1.5 求导法则
2.1.6 高阶导数
2.1.7 微分中值定理
2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式
2.1.9 洛必达法则
2.1.10 导数在几何上的应用
2.2 竞赛题与精选题解析
2.2.1 利用导数的定义解题(例2.1-2.6)
2.2.2 利用求导法则解题(例2.7-2.9)
2.2.3 求高阶导数(例2.10-2.19)
2.2.4 与微分中值定理有关的证明题(例2.20-2.41)
2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用(例2.42-2.60)
2.2.6 利用洛必达法则求极限(例2.6l-2.68)
2.2.7 与导数有关的不等式的证明(例2.69-2.79)
2.2.8 导数的应用(例2.80-2.91)
练习题二
专题3 一元函数积分学
3.1 基本概念与内容提要
3.1.1 不定积分基本概念
3.1.2 基本积分公式
3.1.3 不定积分的计算
3.1.4 定积分基本概念
3.1.5 定积分中值定理
3.1.6 变限的定积分
3.1.7 定积分的计算
3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质
3.1.9 定积分在几何与物理上的应用
3.1.10 反常积分
3.2 竞赛题与精选题解析
3.2.1 求不定积分(例3.1-3.16)
3.2.2 利用定积分的定义与性质求极限(例3.17-3.23)
3.2.3 应用积分中值定理解题(例3.24-3.25)
3.2.4 变限的定积分的应用(例3.26-3.34)
3.2.5 定积分的计算(例3.35-3.54)
3.2.6 积分不等式的证明(例3.55-3.75)
3.2.7 积分等式的证明(例3.76-3.80)
3.2.8 定积分的应用(例3.81-3.91)
3.2.9 反常积分(例3.92-3.98)
练习题三
专题4 多元函数微分学
4.1 基本概念与内容提要
4.1.1 二元函数的极限与连续性
4.1.2 偏导数与全微分
4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数
4.1.4 方向导数
4.1.5 高阶偏导数
4.1.6 二元函数的极值
4.1.7 条件极值
4.1.8 多元函数的最值
4.2 竞赛题与精选题解析
4.2.1 求二元函数的极限(例4.1-4.2)
4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性(例4.3-4.5)
4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数(例4.6-4.16)
4.2.4 方向导数(例4.17-4.19)
4.2.5 求高阶偏导数(例4.20-4.27)
4.2.6 求二元函数的极值(例4.28-4.31)
4.2.7 求条件极值(例4.32-4.35)
4.2.8 求多元函数在空间区域上的最值(例4.36-4.38)
练习题四
专题5 二重积分与三重积分
5.1 基本概念与内容提要
5.1.1 二重积分基本概念
5.1.2 二重积分的计算
5.1.3 交换二次积分的次序
5.1.4 三重积分基本概念
5.1.5 三重积分的计算
5.1.6 重积分的应用
5.1.7 反常重积分
5.2 竞赛题与精选题解析
5.2.1 二重积分与二次积分的计算(例5.1-5.14)
5.2.2 交换二次积分的次序(例5.15-5.19)
5.2.3 三重积分的计算(例5.20-5.25)
5.2.4 与重积分有关的不等式的证明(例5.26-5.31)
5.2.5 重积分的应用题(例5.32-5.35)
5.2.6 反常重积分的计算(例5.36-5.38)
练习题五
专题6 曲线积分与曲面积分
6.1 基本概念与内容提要
6.1.1 曲线积分基本概念与计算
6.1.2 格林公式
6.1.3 曲面积分基本概念与计算
6.1.4 斯托克斯公式
6.1.5 高斯公式
6.1.6 梯度、散度与旋度
6.2 竞赛题与精选题解析
6.2.1 曲线积分的计算(例6.1-6.4)
6.2.2 应用格林公式解题(例6.5-6.16)
6.2.3 曲面积分的计算(例6.17-6.22)
6.2.4 应用斯托克斯公式解题(例6.23-6.24)
6.2.5 应用高斯公式解题(例6.25-6.35)
6.2.6 线面积分的应用题(例6.36-6.39)
练习题六
专题7 空间解析几何
7.1 基本概念与内容提要
7.1.1 向量的基本概念与向量的运算
7.1.2 空间的平面
7.1.3 空间的直线
7.1.4 空间的