数学桥：对高等数学的一次观赏之旅

　　数学经常会让我们感到很困惑，数学教科书又枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，而似乎没有尽头的题海更让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的数学名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，导致对其一知半解。 斯蒂芬·弗莱彻·休森所著的《数学桥》一书独辟蹊径，将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。 在《数学桥》一书中，每当引入一个新的数学概念，首先作者会介绍它的应用背景，让我们明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，这样我们在学习一个数学理论时，也了解了理论背后的数学思想。 《数学桥》是一本杂交型的“普及型教科书”，它比通常的数学书更直观、更亲切也更具谈话性。各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。而本书的价值就在于，它是一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，是现阶段最稀缺的数学科普书。 在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

　　斯蒂芬·弗莱彻·休森，数学家，1998年获得英国剑桥大学博士学位，致力于数学科普图书的创作。

目 录
第一章 数/1
1.1 计数/3
1.1.1 自然数/3
1.1.1.1 自然数的构造/3
1.1.1.2算术/5 1.1.2 整数/6
1.1.2.1 零和负整数的性质/7
1.1.3 有理数/8 1.1.4 序/9
1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10
1.1.5 从一到无穷大/11
1.1.5.1 无穷集的比较/11
1.1.6 无穷算术/12
1.1.7 超越~/16 1.2 实数/19
1.2.1 怎样产生无理数/20
1.2.2 有多少个实数/24
1.2.3 代数数和超越数/25
1.2.3.1 超越数的例子/27
1.2.4 连续统假设和更大的无穷大/28
1.3 复数及其高维同伴/31
1.3.1 复数i的发现/31
1.3.2 复平面/32
1.3.2.1 复数在几何中的应用/34
1.3.3 棣莫弗定理/35
1.3.4 多项式和代数基本定理/36
1.3.4.1 多项式方程的求解/37
1.3.5 还有其他的数吗/40
1.3.5.1 四元数/41
1.3.5.2 凯莱数/43 1.4 素数/44
1.4.1计算机、算法和数学/45
1.4.2 素数的性质/46
1.4.3 素数有多少个/48
1.4.3.1素数的分布/48
1.4.4 欧几里得算法/49
1.4.4.1 欧几里得算法的速度/50
1.4.4.2 连分数/51
1.4.5 贝祖引理和算术基本定理/53
1.5 模整数/57
1.5.1 模为素数的算术/57
1.5.1.1 一个关于素数的公式/58
1.5.1.2 费马小定理/59
1.5.2 RSA密码 /60
1.5.2.1 建立 RSA体制/62
1.5.2.2 一种RSA密码体制/64
第2章 分析 /66
2.1 无穷极限/68
2.1.1 三个例子/68
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟 /68
2.1.1.2 连续复合利率/70
2.1.1.3 方程的迭代解法/72
2.1.2 极限的数学描述/75
2.1.2.1 收敛的一般准则/78
2.1.3 极限应用于无穷和/79
2.1.3.1 一个例子∶几何级数/79
2.2 无穷和的收敛与发散/81
2.2.1 调和级数/81
2.2.2 收敛判别法/82
2.2.2.1 比较判别法/82
2.2.2.2 交错级数判别法/84
2.2.2.3 绝对收敛/85
2.2.2.4 比率判别法/85
2.2.3 幂级数及其收敛半径/87
2.2.3.1 确定收敛半径/89
2.2.4 无穷级数的重新排列/89
2.3 实函数/92
2.3.1 实值函数的极限/92
2.3.2 连续函数/94 2.3.3 微分/97
2.3.3.1 例子/99
2.3.3.2 微分中值定理/102
2.3.3.3 洛必达法则/105
2.3.4 面积与积分/106
2.3.5 微积分基本定理/108
2.4 对数函数和指数函数以及 e/111
2.4.1 Inx的定义/111
2.4.2 expx的定义/114
2.4.3 欧拉数e/116
2.4.3.1 e的无理性/119
2.5 幂级数/121
2.5.1 泰勒级数/123
2.5.1.1 作为警示的例子/126
2.5.1.2 实函数的复扩张/126
2.6 T与分析学观点下的三角学/128
2.6.1 角度与扇形面积/128
2.6.1.1 π的一个级数展开式/131
2.6.2 正切、正弦和余弦/132
2.6.2.1 用幂级数定义 sinx和cosx/134
2.6.3 傅里叶级数/136
2.7 复函数/140
2.7.1 指数函数和三角函数/140
2.7.2 复函数的几个基本性质/141
2.7.3 对数函数及多值函数/142
2.7.4 复数器/143