基于符号计算的非线性系统求解方法与技巧

　　随着科学技术的不断发展，非线性在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要。非线性偏微分方程作为非线性系统中非常重要的数学模型，它在数学、物理学、生物及大气海洋学的许多领域都有非常重要的应用。现实世界对非线性的理解和分析大多可归结为对非线性微分方程（组）的求解，然而求解非线性微分方程远比求解线性微分方程要困难的多，一般很难用一个统一的方法来处理，本书将以非线性可积系统作为研究对象，以符号计算系统Maple为主要工具，从新的观点出发，对非线性系统求解方法进行深入的研究，为读者提供一些求解非线性系统特别是高维非线性系统的有效方法，同时展示一批有趣的新结果。本书主要在孤子理论经典方法的基础上，以目前广泛关注的非线性可积系统为例，扩展原有方法或构建新方法，重点演示了非线性波包括孤子、呼吸子、团块波和怪波的有效求解算法。本书写作中力求全面与详细，尽可能展示多种求解非线性系统的有效方法，对于非线性偏微分程的初学者、研究生及从事非线性科学的科技工作者具有重要的参考价值。

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第1章 绪论
1.1 研究背景与研究意义
1.2 非线性系统研究概述
1.3 符号计算简介
1.4 非线性系统的求解方法
第2章 直接代数方法及其应用
2.1 KdV-SCS方程的双曲函数解
2.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解
2.2.1 Jacobi椭圆函数基本概念
2.2.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解
2.3 Kdv-SCS方程的(G'/G)形式的解
2.3.1 (G'/G)-扩展法
2.3.2 Kdv-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用
2.4 小结
第3章 Hirota双线性方法及其应用
3.1 Hirota导数D-算子及相关变量变换
3.1.1 Hirota导数D-算子
3.1.2 相关变量变换
3.2 2+1维非线性系统的孤子解
3.2.1 2+1维非线性系统的双线性形式
3.2.2 2+1维非线性系统的孤子解
3.3 超对称KdV方程的孤子解
3.3.1 超对称方程简介
3.3.2 SKdV1方程及其双线性化
3.3.3 SKdV1方程的孤立子解
3.4 小结
第4章 广义双线性Backlund变换法及其应用
4.1 广义双线性Backlund变换及精确解的构造算法
4.2 3+1维非线性方程的广义双线性Backlund变换及其精确解
4.2.1 3+1维非线性方程的广义双线性Backlund变换
4.2.2 3+1维非线性方程的精确解
4.3 广义3+1维非线性方程的广义双线性Backlund变换及其精确解
4.3.1 广义3+1维非线性方程的广义双线性Backlund变换
4.3.2 广义3+1维非线性方程的精确解
4.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及其精确解
4.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换
4.4.2 4+1维Fokas方程的精确解
4.5 小结
第5章 Darboux变换构造及其应用
5.1 LaX对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现
5.1.1 Laxpairtest程序包
5.1.2 Laxpairtest程序包应用实现
5.2 AB—NLS方程的n阶Darboux变换
5.2.1 非局部非线性系统AB—NLS方程
5.2.2 AB—NLS方程的仡阶Darboux变换
5.3 AB.NLS方程的孤子解
5.3.1 AB—NLS方程的1-孤子解
5.3.2 AB—NLS方程的2-孤子解
5.4 非局部DNLS方程的Darboux变换及精确解
5.4.1 非局部DNLS方程的Darboux变换
5.4.2 非局部DNLS方程的精确解
5.5 小结
第6章 偶次幂函数符号计算方法及其应用
6.1 偶次幂函数符号计算方法
6.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化
6.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化
6.4 4+1维Fokas方程的1ump解及其动力学分析
6.4.1 4+1维Fokas方程的lump解
6.4.2 4+1维Fokas方程lump解动力学分析
6.5 小结
第7章 Pfaffians及其应用
7.1 Pfaffians的定义及性质
7.2 KP方程的Pfaffian解
7.3 2+1维非线性系统Pfaffian式的多孤子解
7.4 小结
第8章 Painleve截断展开法及其应用
8.1 WTC检验方法
8.2 3+1维广义KP方程的Painleve性质
8.3 KdV—SCS方程的Painleve性质
8.4 小结
参考文献