数论概论（英文版 原书第4版 典藏版）

　　本书面向非数学专业学生，讲述了有关数论的知识，教给他们如何用数学方法思考问题，同时介绍了目前数论研究的某些前沿课题。与第3版相比，本版的具体更新如下： 新增一章，详细介绍数学归纳法（第26章）；前言部分给出了各章之间依赖关系的流程图，便于读者选择阅读；调整了内容的组织结构，将反证法的相关材料前移至第8章，原根的相关章节移至二次互反律与平方和之后，第47~50章的内容移至网上；给出了二次互反律的完整证明，以及雅可比符号二次互反律的部分证明（第23章）；更新了书中的实例及章后习题。

　　约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H. Silverman） 拥有哈佛大学博士学位。他目前为布朗大学数学教授，之前曾任教于麻省理工学院和波士顿大学。1998年，他获得了美国数学会Steele奖的著述奖，获奖著作为《The Arithmetic of Elliptic Curves》和《Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves》。 他的研究兴趣是数论、椭圆曲线和密码学等。

引言 1
第1章　什么是数论 6
第2章　勾股数组 13
第3章　勾股数组与单位圆 21
第4章　高次幂之和与费马大定理 26
第5章　整除性与最大公因数 30
第6章　线性方程与最大公因数 37
第7章　因数分解与算术基本定理 46
第8章　同余式 55
第9章　同余式、幂与费马小定理 65
第10章　同余式、幂与欧拉公式 71
第11章　欧拉函数与中国剩余定理 75
第12章　素数 83
第13章　素数的计数 90
第14章　梅森素数 96
第15章　梅森素数与完全数 101
第16章　幂模m与逐次平方法 111
第17章　计算模m的k次根 118
第18章　幂、根与不可破密码 123
第19章　素性测试与卡米歇尔数 129
第20章　模p平方剩余 141
第21章　–1是模p平方剩余吗？2呢 148
第22章　二次互反律 159
第23章　二次互反律的证明 171
第24章　哪些素数可表成两个平方数之和 181
第25章　哪些数能表成两个平方数之和 193
第26章　像1, 2, 3一样简单 199
第27章　欧拉函数与因数和 206
第28章　幂模p与原根 211
第29章　原根与指标 224
第30章　方程X4+Y4=Z4 231
第31章　再论三角平方数 236
第32章　佩尔方程 245
第33章　丢番图逼近 251
第34章　丢番图逼近与佩尔方程 260
第35章　数论与虚数 267
第36章　高斯整数与唯一因子分解 281
第37章　无理数与超越数 297
第38章　二项式系数与帕斯卡三角形 313
第39章　斐波那契兔子问题与线性递归序列 324
第40章　O，多美的一个函数 339
第41章　三次曲线与椭圆曲线 353
第42章　有少量有理点的椭圆曲线 366
第43章　椭圆曲线模p上的点 373
第44章　模p的挠点系与不好的素数 384
第45章　亏量界与模性模式 388
第46章　椭圆曲线与费马大定理 394
进一步阅读的文献 396

Contents
Introduction......................................................... 1
1 What Is Number Theory?............................................. 6
2 Pythagorean Triples................................................. 13
3 Pythagorean Triples and the Unit Circle............................... 21
4 Sums of Higher Powersand Fermat’s Last Theorem.................... 26
5 Divisibility and the Greatest Common Divisor......................... 30
6 Linear Equations and the Greatest Common Divisor.................... 37
7 Factorization and the Fundamental Theorem of Arithmetic.............. 46
8 Congruences........................................................ 55
9 Congruences,Powers, and Fermat’s Little Theorem..................... 65
10 Congruences,Powers, and Euler’s Formula............................ 71
11 Euler’s Phi Function and the Chinese Remainder Theorem.............. 75
12 Prime Numbers..................................................... 83
13 Counting Primes.................................................... 90
14 Mersenne Primes.................................................... 96
15 Mersenne Primes and Perfect Numbers............................... 101
16 Powers Modulom and Successive Squaring........................... 111
17 Computing k th Roots Modulom ..................................... 118
18 Powers,Roots,and“Unbreakable”Codes............................ 123
19 Primality Testing and Carmichael Numbers........................... 129
20 Squares Modulo p .................................................. 141
21 Is.1 a Square Modulo p?Is 2?..................................... 148
22 Quadratic Reciprocity.............................................. 159
23 Proof of Quadratic Reciprocity...................................... 171
24 Which Primes Are Sums of Two Squares?............................ 181
25 Which Numbers Are Sums of Two Squares?.......................... 193
26 As Easyas One,Two,Three........................................ 199
27 Euler’s Phi Function and Sums of Divisors........................... 206
28 Powers Modulo p and Primitive Roots............................... 211
29 Primitive Roots and Indices......................................... 224
30 The Equation X 4+Y 4=Z 4 .......................................... 231
31 Square–Triangular Numbers Revisited............................... 236
32 Pell’sEquation .................................................... 245
33 Diophantine Approximation......................................... 251
34 Diophantine Approximation and Pell’s Equation...................... 260
35 Numb