实用偏微分方程（英文版·原书第5版）

　　本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，讲授的内容是高级工程数学、自然科学范畴的数学方法中非常重要的部分。

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第1章　热传导方程1
11　引言1
12　一维杆中热传导方程的推导2
13　边界条件11
14　平衡温度分布14
141　给定温度14
142　绝热边界16
15　二维或三维热传导方程的推导19
第2章　分离变量法32
21　引言32
22　线性性质32
23　在有限端处具有零温度的热传导方程35
231　概述35
232　分离变量35
233　时变常微分方程37
234　边值问题38
235　乘积解和叠加原理43
236　正弦函数的正交性46
237　实例48
238　小结50
24　有关热传导方程的例子：其他边值问题55
241　绝热端杆中的热传导55
242　细绝热圆环中的热传导59
243　边值问题小结64
25　拉普拉斯方程：求解和定性性质67
251　矩形区域内的拉普拉斯方程67
252　圆盘内的拉普拉斯方程72
253　绕过圆柱体的流体流动（升力）76
254　拉普拉斯方程的定性性质79
第3章　傅里叶级数86
31　引言86
32　收敛定理88
33　傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数92
331　傅里叶正弦级数92
332　傅里叶余弦级数102
333　用正弦级数和余弦级数表示f(x)105
334　偶部和奇部106
335　连续傅里叶级数107
34　傅里叶级数的逐项微分112
35　傅里叶级数的逐项积分123
36　傅里叶级数的复形式127
第4章　波动方程：振动弦与振动膜130
41　引言130
42　弦振动方程的建立130
43　边界条件133
44　端点固定的振动弦137
45　振动膜143
46　电磁波与声波的反射与折射145
461　斯涅耳折射定律146
462　反射波与折射波的强度（振幅）148
463　内部全反射149
第5章　施图姆–刘维尔特征值问题151
51　引言151
52　例子151
521　非均匀杆内的热流151
522　圆对称热流153
53　施图姆–刘维尔特征值问题155
531　一般分类155
532　正则施图姆–刘维尔特征值问题156
533　定理的举例和说明157
54　例子：非均匀杆中的无热源热流163
55　自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题167
56　瑞利商184
57　例子：非均匀弦的振动189
58　第三类边界条件192
59　大特征值（渐近行为）207
510　逼近性质211
第6章　偏微分方程的有限差分数值法217
61　引言217
62　有限差分与截断泰勒级数217
63　热传导方程224
631　概述224
632　偏差分方程224
633　计算226
634　傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析228
635　偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解235
636　矩阵记号238
637　非齐次问题242
638　其他数值格式242
639　其他类型的边界条件243
64　二维热传导方程247
65　波动方程250
66　拉普拉斯方程253
67　有限元法260
671　非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式）260
672　最简三角形有限元263
第7章　高维偏微分方程268
71　引言268
72　时间变量的分离269
721　振动膜：任意形状269
722　热传导：任意区域271
723　小结272
73　振动矩形膜272
74　特征值问题?φ+φ= 0的定理叙述和说明282
75　格林公式、自伴算子和多维特征值问题287
76　瑞利商和拉普拉斯方程293
761　瑞利商293
762　依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程294
77　振动圆形膜和贝塞尔函数295
771　概述295
772　分离变量296
773　特征值问题（一维情形）297
774　贝塞尔微分方程299
775　奇异点和贝塞尔微分方程299
776　贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）301
777　涉及贝塞尔函数的特征值问题302
778　振动圆形膜的初值问题304
779　圆对称情形305
78　贝塞尔函数的进一步讨论312
781　贝塞尔函数的定性性质312
782　特征值的渐近公式313
783　贝塞尔函数的零点和结点曲线314
784　贝塞尔函数的级数表示316
79　圆柱体上的拉普拉斯方程319
791　概述319
792　分离变量320
793　侧面及顶部或底部为零温度的情形322
794　顶部和底部为零温度的情形323
795　修正贝塞尔函数326
710　球内的问题和勒让德多项式330
7101　概述330
7102　分离变量和一维特征值问题330
7103　连带勒让德函数和勒让德多项式332
7104　径向特征值问题335
7105　乘积解、振动模式和初值问题335
7106　球内部的拉普拉斯方程336
第8章　非齐次问题341
81　引言341
82　有源热流与非齐次边界条件341
83　带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）347
84　利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）353
85　受迫振动膜与共振358
86　泊松方程366
第9章　定常问题的格林函数374
91　引言374
92　一维热传导方程374
93　常微分方程边值问题的格林函数379
931　一维稳态热传导方程379
932　参数变易法379
933　格林函数的特征函数展开法382
934　狄拉克δ函数及其与格林函数的关系384
935　非齐次边界条件391
936　小结392
94　弗雷德霍姆择一性与广义格林函数398
941　概述398
942　弗雷德霍姆择一性400
943　广义格林函数402
95　泊松方程的格林函数409
951　概述409
952　多维狄拉克δ函数与格林函数410
953　用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性411
954　格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选）413
955　用格林函数解带非齐次边界条件的问题415
956　无穷空间格林函数416
957　用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数419
958　用无穷空间格林函数求半无穷平面（y>0）的格林函数：像源法420
959　圆的格林函数：像源法423
96　扰动特征值问题430
961　概述430
962　数学例子431
963　拟圆膜振动432
97　小结435
第10章　无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法437
101　引言437
102　无穷域上的热传导方程437
103　傅里叶变换对441
1031　傅里叶级数恒等式的启示441
1032　傅里叶变换442
1033　高斯函数的傅里叶逆变换443
104　傅里叶变换与热传导方程450
1041　热传导方程450
1042　傅里叶变换热传导方程：导数的变换455
1043　卷积定理457
1044　傅里叶变换性质小结461
105　傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程463
1051　概述463
1052　半无穷区间上的热传导方程Ⅰ463
1053　傅里叶正弦和余弦变换465
1054　导数的变换466
1055　半无穷区间上的热传导方程Ⅱ467
1056　傅里叶正弦和余弦变换表469
106　应用变换求解的例子473
1061　无穷区间上的一维波动方程473
1062　半无穷带上的拉普拉斯方程475
1063　半平面上的拉普拉斯方程479
1064　四分之一平面上的拉普拉斯方程482
1065　平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）486
1066　二重傅里叶变换表490
107　散射和逆散射495
第11章　波动方程和热传导方程的格林函数499
111　引言499
112　波动方程的格林函数499
1121　概述499
1122　格林公式500
1123　互反性502
1124　使用格林函数504
1125　波动方程的格林函数506
1126　格林函数的另一个微分方程506
1127　一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解507
1128　三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）509
1129　二维无穷空间格林函数511
11210　小结511
113　热传导方程的格林函数514
1131　概述514
1132　热传导方程的非自伴特性515
1133　格林公式516
1134　伴随格林函数517
1135　互反性518
1136　用格林函数表示解518
1137　格林函数的另一个微分方程520
1138　扩散方程的无穷空间格林函数521
1139　热传导方程的格林函数（在半无穷域上）522
11310　热传导方程的格林函数（在有限区域上）523
第12章　线性和拟线性波动方程的特征线法527
121　引言527
122　一阶波动方程的特征线528
1221　概述528
1222　一阶偏微分方程的特征线法529
123　一维波动方程的特征线法534
1231　通解534
1232　初值问题（无穷区域）536
1233　达朗贝尔解540
124　半无界弦和反射543
125　定长振动弦的特征线法548
126　拟线性偏微分方程的特征线法552
1261　特征线法552
1262　交通流量553
1263　特征线法(Q=0)555
1264　冲击波558
1265　拟线性举例570
127　一阶非线性偏微分方程575
1271　由波动方程推导出的短时距方程575
1272　求解均匀介质中的短时距方程和反射波576
1273　一阶非线性偏微分方程579
第13章　偏微分方程的拉普拉斯变换解法581
131　引言581
132　拉普拉斯变换的性质581
1321　概述581
1322　拉普拉斯变换的奇点582
1323　导数的变换586
1324　卷积定理587
133　常微分方程初值问题的格林函数591
134　波动方程的信号问题593
135　有限长度振动弦的信号问题597
136　波动方程及其格林函数600
137　用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换603
138　利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）608
第14章　色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法611
141　引言611
142　色散波和群速度612
1421　行波和色散关系612
1422　群速度Ⅰ615
143　波导617
1431　对f频率集中周期性源的响应620
1432　模式传播的格林函数620
1433　模式不传播的格林函数621
1434　设计思路622
144　光纤623
145　群速度Ⅱ和稳定相位法627
1451　稳定相位法628
1452　对线性色散波的应用630
146　缓变色散波（群速度和焦散曲线）634
1461　色散偏微分方程的近似解634
1462　焦散曲线的形成636
147　波包络方程（集中波数）642
1471　薛定谔方程643
1472　线性化KdV方程645
1473　非线性色散波：KdV方程647
1474　孤立子与逆散射650
1475　非线性薛定谔方程652
148　稳定性和不稳定性656
1481　常微分方程和分歧理论简介656
1482　偏微分方程稳定平衡解的基本例子663
1483　偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成664
1484　不适定问题667
1485　微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程668
1486　非线性复金茨堡–朗道方程670
1487　长波的不稳定性67