应用随机过程

　　本书介绍应用随机过程的基础知识，将随机过程的基本理论和分析问题、解决问题的方法与自然科学、工程技术、经济学及社会科学等相关知识结合，注重渗透现代数学思想和方法，融入数学建模思想，加强培养学生应用随机过程的理论、方法解决实际问题的能力。 全书共分为10章，分别是预备知识、随机过程的基本概念、泊松过程、更新过程、马尔可夫链、连续时间的马尔可夫链、随机分析与随机微分方程、鞅、布朗运动和平稳过程。本书提供配套电子课件和每章习题详细解答。 本书既可以作为大专院校相关专业高年级本科生或研究生的教材或教学参考书，也可以供相关领域的读者学习、参考。

　　施三支，博士，长春理工大学理学院教授，长期讲授随机过程、数理统计、数学分析、多元统计分析等课程。2013年度荣获吉林省数学建模优秀指导教师。

第1章 预备知识 1

1．1 概率 1

1．2 随机变量与分布函数 3

1．3 数字特征 4

1．4 矩母函数与特征函数 8

1．5 条件期望 12

1．6 n维高斯分布 14

1．7 收敛性 15

1．7．1 依概率收敛 15

1．7．2 概率1收敛 16

1．7．3 均方收敛 16

1．7．4 依分布收敛 16

习题一 17

第2章 随机过程的基本概念 19

2．1 随机过程的定义 19

2．2 随机过程的数字特征 21

2．3 复随机过程 24

2．4 几种常用的随机过程 26

2．4．1 平稳过程 26

2．4．2 独立增量过程 27

2．4．3 马尔可夫过程 27

2．4．4 高斯过程 28

习题二 29

第3章 泊松过程 31

3．1 泊松过程的定义 31

3．2 到达间隔时间与等待时间的分布 34

3．2．1 到达间隔时间序列与等待时间序列 34

3．2．2 到达时刻的条件分布 36

3．3 非齐次泊松过程 39

3．4 复合泊松过程 41

习题三 44

第4章 更新过程 46

4．1 更新过程的定义 46

4．1．1 更新过程的定义 46

4．1．2 更新函数 47

4．2 更新定理 51

4．3 更新过程的推广 52

习题四 54

第5章 马尔可夫链 56

5．1 马尔可夫链 56

5．1．1 马尔可夫链的定义 56

5．1．2 n步转移概率，C-K方程 59

5．1．3 初始概率和绝对概率 61

5．2 马尔可夫链的状态分类 62

5．2．1 可达和互通 62

5．2．2 状态的周期性和常返性 63

5．3 状态空间的分解 68

5．4 pij(n)的渐近性质与平稳分布 72

5．4．1 pij(n)的渐近性质 72

5．4．2 平稳分布 76

5．5 马尔可夫链应用模型――钢琴库存量 80

习题五 85

第6章 连续时间的马尔可夫链 87

6．1 连续时间的马尔可夫链的定义 87

6．2．1 定义 87

6．2．2 泊松过程是连续时间的齐次马尔可夫链 90

6．2 柯尔莫哥洛夫微分方程 90

6．3 生灭过程 96

习题六 99

第7章 随机分析与随机微分方程 101

7．1 均方极限 101

7．2 均方连续与均方导数 103

7．2．1 均方连续 104

7．2．2 均方导数 105

7．3 均方积分 107

7．4 随机微分方程 110

习题七 112

第8章 鞅 114

8．1 鞅的定义 114

8．1．1 鞅 114

8．1．2 上、下鞅的定义及性质 117

8．2 停时 117

8．2．1 停时 117

8．2．2 鞅停时定理 118

8．2．3 一致可积性 120

8．3 鞅收敛定理 120

习题八 122

第9章 布朗运动 123

9．1 布朗运动的定义 123

9．2 击中时刻、最大值变量和反正弦率 126

9．2．1 击中时刻 126

9．2．2 最大值变量和反正弦律 127

9．3 布朗运动的几种变化 129

9．3．1 布朗桥 129

9．3．2 有吸收值的布朗运动 129

9．3．3 在原点反射的布朗运动 130

9．3．4 几何布朗运动 130

9．3．5 积分布朗运动 131

9．3．6 有漂移的布朗运动 131

习题九 132

第10章 平稳过程 134

10．1 平稳过程的定义与性质 134

10．2 平稳过程的各态历经性 139

10．3 平稳过程的谱函数与谱密度 145

10．3．1 平稳过程的谱函数与谱密度 145

10．3．2 谱密度的物理意义 147

10．3．3 谱密度的性质 150

10．3．4 白噪声过程的谱密度 156

10．3．5 互谱密度 157

习题十 159

每章习题详细解答 162

参考文献 208