微分几何（修订版）

　　《微分几何（修订版）》以经典微分几何为主，同时也适当地介绍一些整体微分几何的概念。经典微分几何主要是三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性质的基本内容；整体微分几何内容包括平面和空间曲线的一些整体性质，以及曲面的一些整体性质，同时简单地介绍了微分流形和黎曼流形的一些概念。全书共有三章和三个附录：第一章三维欧氏空间的曲线论（包括平面和空间曲线的一些整体性质），第二章曲面论讲三维欧氏空间中曲面的局部几何性质，第三章曲面的整体性质初步，这三章是《微分几何（修订版）》的主要内容；附录1向量函数及其运算，附录2欧氏空间的点集拓扑，附录3微分几何的发展简史，这三个附录供学习《微分几何（修订版）》时参考。《微分几何（修订版）》可供综合性大学数学类专业作为教材。

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第一章 三维欧氏空问的曲线论
1 曲线曲线的切向量弧长
2 主法向量与从法向量曲率与挠率
3 Frenet标架Frenet公式
4 曲线在一点邻近的性质
5 曲线论基本定理
6 平面曲线的一些整体性质
6．1 关于闭曲线的一些概念
6．2 切线的旋转指标定理
*6．3 凸曲线
*6．4 等周不等式
*6．5 四顶点定理
*6．6 Cauchy-Crofton公式
7 空间曲线的整体性质
*7．1 球面的Cruflon公式
*7．2 Fenchel定理
*7．3 Fary-Milnor定理
第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质
1 曲面的表示切向量法向量
1．1 曲面的定义
1．2 切向量切平面
1．3 法向量
1．4 曲面的参数变换
1．5 例
1．6 单参数曲面族平面族的包络
面可展曲面
2 曲面的第一、第二基本形式
2．1 曲面的第一基本形式
2．2 曲面的正交参数曲线网
2．3 等距对应曲面的内蕴几何学
2．4 共形对应
2．5 曲面的第二基本形式
3 曲面上的活动标架曲面的
基本公式
3．1 省略和式记号的约定
3．2 曲面上的活动标架
曲面的基本公式
3．3 Weingarten变换Ⅳ
3．4 曲面的共轭方向渐近方向
渐近曲线
4 曲面上的曲率
4．1 曲面上曲线的法曲率
4．2 主方向主曲率
4．3 Dupin标线
4．4 曲率线
4．5 主曲率及曲率线的计算
总曲率平均曲率
4．6 曲率线网
4．7 曲面在一点邻近处的形状
4．8 Gauss映射及第三基本形式
4．9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理
5．1 曲面的基本方程
5．2 曲面论的基本定理
6 测地曲率测地线
6．1 测地曲率向量测地曲率
6．2 计算测地曲率的Liouville公式
6．3 测地线
6．4 法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5 应用
6．6 测地挠率
6．7 Gauss-Bonnet公式
7 曲面上向量的平行移动
7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分
7．2 绝对微分的运算性质
7．3 自平行曲线
7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示
7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系
第三章 曲面的整体性质初步
1 曲面的整体表述
2 曲面上的Gauss-Bonnet公式
3 向量场
4 球面的刚性
*5 极小曲面
*6 完备曲面Hnpf．Rinow定理
*7 微分流形黎曼流形
附录1 向量函数及其运算
1 向量代数
2 向量函数极限
3 向量函数的微分
4 向量函数的积分
附录2 欧氏空间的点集拓扑
1 n维欧氏空间开集闭集
2 连续映射
3 连通集
4 紧致集
5 拓扑空间
5．1 拓扑空间的定义
5．2 拓扑空间中的闭集
5．3 拓扑结构的等价性
5．4 第二可列基公理
5．5 Hausdorff空间
5．6 连续映射同胚映射
5．7 向量空间的拓扑
附录3 微分几何的发展简史
索引