分数阶系统的分岔与共振

　　本书侧重于介绍一些研究分数阶系统分岔与共振的新方法，这些方法有的是作者近年来所提出，有的是国外有相关书籍进行介绍，但国内介绍较少，且作者将这些方法进行了进一步的改进与发展。全书内容分为9章，涉及不同周期激励下分数阶线性系统的共振分析，不同分数阶非线性系统的叉形分岔、鞍结分岔、跨临界分岔、分岔转换以及这些分岔行为对共振现象的影响。本书引入待定系数法研究分数阶线性系统的稳态响应，发展了快慢变量分离法研究双频周期信号激励下分数阶非线性系统的分岔与共振行为，作者提出了三种不同的数值方法模拟平衡点的静态分岔，研究了分数阶阻尼对响应幅值增益共振模式的影响。

　　杨建华

前言 第1章 分数阶导数的基础知识 1 1.1 分数阶导数的定义 1 1.2 分数阶导数的基本性质 2 1.3 分数阶微分方程的数值算法 3 1.3.1 同一微分方程中含有一个导数项方程的数值求解 3 1.3.2 同一微分方程中含有两个导数项方程的数值求解 6 1.4 本章重要图形的MATLAB仿真程序 6 参考文献 8 第2章 周期激励下分数阶线性系统的稳态响应 11 2.1 简谐激励下系统响应的幅频特性 11 2.1.1 近似解析解 11 2.1.2 数值仿真结果 13 2.2 非简谐周期激励下系统响应的幅频特性 15 2.2.1 周期方波激励下系统响应的幅频特性 16 2.2.2 周期全波正弦激励下系统响应的幅频特性 17 2.3 本章重要图形的MATLAB仿真程序 19 参考文献 23 第3章 基础激励下分数阶线性系统的稳态响应 24 3.1 简谐激励下系统的动力传递系数 24 3.1.1 近似解析解 24 3.1.2 数值仿真结果 25 3.2 非简谐周期激励下系统的动力传递系数 26 3.2.1 周期方波激励下系统的动力传递系数 27 3.2.2 周期全波正弦激励下系统的动力传递系数 28 3.2.3 周期三角波激励下系统的动力传递系数 29 参考文献 31 第4章 分数阶非线性系统的叉形分岔与振动共振 32 4.1 非线性系统的振动共振 32 4.1.1 传统意义的共振 32 4.1.2 振动共振现象及度量指标 33 4.1.3 振动共振与信号的调制 37 4.1.4 振动共振与随机共振 39 4.2 分数阶Duffing系统的叉形分岔与振动共振 39 4.2.1 过阻尼形式的分数阶Duffing系统 40 4.2.2 欠阻尼形式的分数阶Duffing系统 47 4.3 分数阶五次方非线性系统的叉形分岔与振动共振 51 4.3.1 叉形分岔 52 4.3.2 振动共振 58 参考文献 60 第5章 参激分数阶非线性系统的叉形分岔与共振现象 64 5.1 分数阶 Mathieu-Duffing 系统 64 5.2 叉形分岔 66 5.3 共振分析 68 5.3.1 系统参数引起的共振 68 5.3.2 幅频响应 70 5.4 本章重要图形的MATLAB仿真程序 74 参考文献 76 第6章 分数阶非线性系统的鞍结分岔与共振现象 78 6.1 响应幅值增益 78 6.2 鞍结分岔 80 6.2.1 阻尼阶数对分岔的影响 80 6.2.2 不对称参数对分岔的影响 84 6.3 三种共振 85 6.3.1 高频激励引起的共振 85 6.3.2 阻尼阶数引起的共振 87 6.3.3 不对称参数引起的共振 89 6.4 本章重要图形的MATLAB仿真程序 89 参考文献 91 第7章 分数阶非线性系统的分岔转换与共振现象 93 7.1 跨临界分岔 93 7.2 响应幅值增益 95 7.3 鞍结分岔 97 7.3.1 系统参数引起的鞍结分岔 97 7.3.2 高频激励引起的鞍结分岔 100 7.4 共振分析 104 7.5 本章重要图形的MATLAB仿真程序 107 参考文献 109 第8章 高频激励下分数阶非线性系统的变尺度振动共振 110 8.1 理论分析 110 8.1.1 过阻尼分数阶Duffing系统 110 8.1.2 欠阻尼分数阶Duffing系统 112 8.2 数值模拟 114 8.2.1 过阻尼分数阶Duffing系统 115 8.2.2 欠阻尼分数阶Duffing系统 122 8.3 变尺度振动共振的相关讨论.125 8.4 本章重要图形的MATLAB仿真程序 125 参考文献 129 第9章 含时滞项的分数阶非线性系统的叉形分岔与振动共振 130 9.1 含时滞项的分数阶过阻尼Duffing系统的叉形分岔与振动共振 130 9.1.1 叉形分岔 130 9.1.2 振动共振 133 9.1.3 数值模拟 140 9.2 含时滞项的分数阶欠阻尼双稳系统的叉形分岔与振动共振 142 9.2.1 响应幅值增益 142 9.2.2 分岔分析 143 9.3 含分数阶时滞项的欠阻尼双稳系统的振动共振 152 9.3.1 响应幅值增益 153 9.3.2 振动共振 155 9.3.3 数值模拟 157 9.4 本章重要图形的MATLAB仿真程序 160 参考文献 163 索引 165