信号处理中的数学变换和估计方法

　　本书介绍了信号处理中常用到的数学变换及估计方法.在写法上避开了繁杂的数学论证，尽力做到深入浅出、通俗易懂；书中融入了作者多年来从事信号处理方面科研工作的实际经验.关于数学变换，既涉及傅里叶变换、Z变换、拉普拉斯变换、小波变换、希尔伯特变换、沃尔什变换、数论变换等正交变换，也涉及一类特殊的非线性变换：同态变换.关于估计方法，涉及了最小线性方差估计、最大似然估计、最小平方估计，以及现代谱估计方法.本书可作为应用数学、计算数学、地球物理数据处理和通信技术等专业的本科生和研究生的参考书，也可供有关专业工程技术人员参考.本书部分内容是根据作者多年的科研工作和对信号处理的实际经验写成的.在写法上对繁杂的数学论证和较熟悉的内容，不做详细介绍.尽量做到深入浅出、通俗易懂.我们知道，携带信息的物理过程称为信号，它可表示成一个或几个独立自变量的函数.厂般常用一个以时间或空间为自变量的函数（图像信号为两个自变量的函数等）来表示.它是传递信息的函数.信号处理在数学上就是一种数学变换和估计方法.本书试图介绍给读者尽可能多的数学变换和主要的滤波方法.由于信号最基本的组合规则为加法、乘法和卷积这三种形式，更复杂的信号组合规则可能就是这三种运算的复合形式.书中讲到的数学变换主要是针对线性正交变换和一类特殊的非线性变换即同态变换（同态滤波或广义线性变换）.同态变换是专门对乘法和卷积组合而成的信号来考虑的.在线性正交变换中最基本的变换为傅里叶变换及其有关的拉普拉斯变换、Z变换、窗口傅里叶变换、小波变换和希尔伯特变换等，另外还介绍了一些其他的正交变换.从某种意义上讲，它们要比傅里叶变换更简单、方便，也是在信号处理中较常用的方法，如沃希变换、数论变换、哈尔变换和K-L变换等.在估计方法中，我们主要介绍了最小线性方差估计、最大似然估计和最小平方估计，以及维纳滤波、卡尔曼滤波等，它们也属于最小线性方差估计之列，且在信号处理中占有重要位置.在谱估计中，我们主要介绍了现代谱估计的方法、原理，如最大熵谱估计，最大似然谱估计和多谱估计，特别对多谱估计在频域、时域上的计算方法做了较多的介绍.全书共8章.第1章为预备知识，主要为读者介绍一些在信号处理中常用的内容；第2章为信号处理中最基本的数学变换，主要介绍傅里叶变换及与其有关的正交变换，它们也是传统谱估计与滤波的基础；第3章（沃尔什变换）主要介绍了三种不同定义的沃尔什变换，以及它们之间的关系和在通信技术中的应用；第4章（数论变换）介绍了数论变换的一些突出优点以及存在的问题；第5章（其他正交变换）所介绍的正交变换都是在信号处理中有用的；第6章（维纳滤波、伯格滤波和卡尔曼滤波）所介绍的滤波都是从搀杂噪声的信号中提取有用信号的常用而有效的滤波方法，在科技和工程应用领域中都已得到了广泛应用；第7章（同态滤波）主要解决以乘法和卷积组合而成的信号的分离（滤波）问题；第8章（谱估计）重点介绍了现代谱估计中的三种方法.清华大学工程力学系张如一教授审阅了全稿，并提出许多宝贵的意见和建议，在此谨致衷心的感谢.本书可作为高等院校应用数学、计算数学、地球物理数据处理和通信技术等有关专业本科生及研究生的参考书，也可供从事数字信号处理的工程技术人员学习参考.限于作者的水平和经验，书中肯定存在不少缺点和错误，殷切地希望读者批评指正.作者

暂缺《信号处理中的数学变换和估计方法》作者简介

第1章  预备知识
  1.1  n维向量空间的概念
  1.1.1  向量的范数(模)
  1.1.2  L2空间与L2空间的定义及其关系
  1.1.3  两向量的内积
  1.2  线性变换与矩阵
  1.2.1  几种特殊矩阵
  1.2.2  矩阵的奇异值分解
  1.3  正交变换与正交函数系
  1.3.1  正交函数系的封闭性与完备性
  1.3.2  正交函数系与线性独立函数系的关系
  1.4  信号的线性系统
  1.4.1  信号的表达形式
  1.4.2  离散信号
  1.4.3  离散线性系统和滤波器分类
  1.5  信号的一些基本知识
  1.5.1  信号的最小、最大和混合延迟(相位)的定义
  1.5.2  有限长度物理可实现信号的反信号
  1.6  把给定信号转换成最小相位信号和零相位信号的方法
  1.6.1  把已知信号转换成最小相位信号
  1.6.2  把已知信号转换成零相位信号的几种方法
  1.7  序列的卷积和相关
  1.7.1  卷积
  1.7.2  相关
  1.7.3  卷积与相关之间的关系
  1.8  Wold定理——有限数据分解的理论基础
  1.9  随机数字信号(序列)
  1.9.1  引言
  1.9.2  随机序列的主要数字特征及其间的关系
  1.10  随机信号(序列)的参数估计
  1.10.1  引言
  1.10.2  参数的估计
  1.10.3  估计量的评价标准
  1.10.4  参数估计和极小化
  1.11  熵的概念及其性质
  1.11.1  熵的概念
  1.11.2  信息熵
  1.11.3  熵的基本性质
第2章  信号处理中最基本的数学变换
  2.1  引言
  2.2  周期函数
  2.2.1  周期函数的概念和性质
  2.2.2  周期函数的傅里叶级数展开式
  2.2.3  周期函数的频谱分析
  2.3  非周期函数
  2.3.1  非周期函数的傅里叶变换
  2.3.2  傅里叶变换的性质
  2.4  连续函数的卷积与相关
  2.4.1  卷积定理
  2.4.2  相关函数和能量谱密度的关系
  2.5  拉普拉斯变换
  2.5.1  引言
  2.5.2  拉普拉斯变换的定义
  2.5.3  拉普拉斯变换的性质
  2.6  二维傅里叶级数与傅里叶变换
  2.6.1  二维傅里叶级数
  2.6.2  二维傅里叶变换
  2.7  离散傅里叶变换
  2.7.1  采样定理
  2.7.2  离散傅里叶变换的定义
  2.7.3  离散傅里叶变换的性质
  2.7.4  二维离散傅里叶变换
  2.8  Z变换
  2.8.1  Z变换的定义
  2.8.2  Z变换的收敛域和惟一性问题
  2.8.3  Z变换与傅里叶变换的关系
  2.8.4  Z变换的性质
  2.8.5  Z逆变换
  2.8.6  用Z变换解差分方程
  2.9  窗口傅里叶变换、小波变换及其他变换
  2.9.1  引言.
  2.9.2  窗口傅里叶变换
  2.9.3  小波变换
  2.9.4  声音变换
  2.9.5  信号的小波分解和重建的例子
  2.10  希尔伯特变换
第3章  沃尔什变换
  3.1  引言
  3.2  预备知识
  3.3  第一类  按列率或沃尔什编号的沃尔什函数
  3.3.1  定义
  3.3.2  沃尔什函数的主要性质
  3.3.3  沃尔什级数
  3.3.4  采样定理及离散沃尔什变换
  3.3.5  离散沃尔什变换的性质
  3.3.6  沃尔什变换的快速算法
  3.3.7  谱分析
  3.4  第二类  按自然编号或阿达马编号的沃尔什函数
  3.4.1  定义
  3.4.2  第二类离散沃尔什变换的表示形式
  3.4.3  第二类有限沃尔什变换的快速算法
  3.5  第三类  按并元或佩利编号的沃尔什函数
  3.5.1  定义
  3.5.2  第三类有限沃尔什变换的表示形式
  3.5.3  第三类有限沃尔什变换的快速算法
  3.6  三类有限沃尔什变换之间的相互转换关系
  3.?  二维有限沃尔什变换
  3.7.1  二维沃尔什级数展开
  3.7.2  二维有限沃尔什变换
  3.8  沃尔什变换在通信技术中的应用
第4章  数论变换
  4.1  引言
  4.2  预备知识
  4.3  具有循环卷积特，陛的变换结构
  4.4  数论变换及存在定理
  4.4.1  几种典型的数论变换
  4.4.2  数论变换的性质
  4.4.3  快速数论变换
  4.4.4  数论变换中参数M、N和的选择
  4.4.5  用数论变换计算循环卷积
  4.4.6  费马数变换
  4.4.7  数论变换的应用
第5章  其他正交变换
  5.1  哈尔变换
  5.1.1  连续哈尔函数的定义
  5.1.2  哈尔函数系的正交完备性
  5.1.3  哈尔函数与沃尔什函数的关系
  5.1.4  离散哈尔变换(DHT)
  5.2  斜变换(ST)
  5.2.1  引言
  5.2.2  斜矩阵
  5.2.3  斜变换的定义和快速算法
  5.3  离散余弦变换(DCT)
  5.3.1  离散余弦变换的定义
  5.3.2  计算方法
  5.4  正交变换在随机数字信号中的应用
  5.4.1  引言
  5.4.2  主成分分析法
  5.4.3  主成分的主要性质
  5.5  K—L变换
  5.5.I  K—L变换的概念
  5.5.2  K—L变换的两个重要性质
  5.5.3  举例
  5.5.4  应用——K—L滤波
  5.6  奇异值分解
  5.6.1  矩阵的奇异值与奇异值分解
  5.6.2  奇异值分解法的优缺点
  5.6.3  奇异值分解和K—L变换之间的关系
  5.6.4  奇异值分解在垂直地震剖面中的应用
  5.?  灰色系统中的一种数学变换
  5.7.1  概述
  5.7.2  具体实现步骤
第6章  维纳滤波、伯格滤波与卡尔曼滤波
  6.1  维纳滤波
  6.1.1  单道维纳滤波的数学模型
  6.1.2  维纳滤波因子的求法
  6.1.3  维纳滤波因子的实际求法
  6.1.4  最小平方反卷积
  6.1.5  预测反卷积
  6.1.6  波形反卷积
  6.1.7  维纳滤波(最小平方滤波)的有关性质
  6.1.8  多道维纳滤波
  6.2  伯格滤波(反卷积)
  6.2.1  引言
  6.2.2  AR(M)模型等价于——步预测反卷积
  6.2.3  由AR(M)出发女口何外推自相关值
  6.2.4  AR(M)模型与最大熵外推自相关序列是等价的
  6.2.5  怎样从已知的rxx(0)，rxx(1)，...，rxx(M)去计算aM，m(m＝0，1，...，M)
  6.2.6  伯格算法(最大熵法)
  6.2.7  向前预测误差和向后预测误差的滤波作用
  6.2.8  应用——最大熵子波反卷积
  6.3  卡尔曼滤波
  6.3.1  引言
  6.3.2  一维滤波+
  6.3.3  多维滤波
  6.3.4  线性离散系统的卡尔曼滤波公式的推导
  6.3.5  总结
第7章  同态滤波
  7.1  信号组合规则的三种最基本形式
  7.2  线性滤波器与非线性滤波器
  7.2.1  线性滤波器(线，陛系统)
  7.2.2——类特殊的非线，陛滤波器(同态滤波)
  7.3  卷积型同态滤波
  7.3.1  卷积型同态滤波的标准形式
  7.3.2  输入特征系统D
  7.3.3  复赛谱的性质和求法
  7.3.4  线性系统L
  7.3.5  输出特征系统D-1
  7.3.6  同态滤波的应用——反卷积和反鸣震
第8章  谱估计
  8.1  引言
  8.2  确定性信号的谱估计
  8.3  平稳随机信号的谱估计
  8.4  传统谱估计方法
  8.4.1  直接法
  8.4.2  间接法
  8.5  现代谱估计方法
  8.5.1  最大熵谱估计法
  8.5，2  最大熵谱估计中振幅谱和相位谱的求法
  8.5.3  最大似然谱
  8.5.4  多谱估计
  8.5.5  多谱估计的频域方法
  8.5.6  多谱估计的时域方法——参数方法
  8.6  最大熵谱估计在油气检测中的应用
参考文献
索引