统计与优化

　　片断：2.直方图我们进一步借助于图形来直观地反映样本的频数（频率）分布。在xy平面上，画一排竖着的长方形：对每个i（i＝0，1，…，m），以子区间（ti，ti＋1］为底，以yi＝fi/l为高。如例1中yi＝fi/l＝ni/（80×0.05）（i＝0，1，…，8），分别算出9个矩形的高频率直方图，简称直方图。它能够大致描述出总体X的概率分布情况，因为每个竖着的长方形的面积为Ai＝fi/l·l＝fi（i＝0，1，…，m）而由概率论中贝努利大数定律知：当样本容量n充分大时，频率fi接近于随机变量X（总体）取值落入区间（ti，ti＋1］的概率，即f（x）为X的概率密度函数。有了直方图，还可进一步画出总体X的概率密度曲线的大致形状。我们用“截盈补亏”法描出一条光滑曲线，即描曲线时，尽可能使每个矩形被舍在曲线外的面积等于从矩形外纳入曲线之内的面积，同时保持曲线的光滑性，如图1－1所示。这样得到的曲线，便是X的概率密度f（x）的近似图形。图1－1中的曲线很象正态分布的密度曲线，反映出树苗高度X渐近于正态分布，直观上可认为树苗的发育生长是正常的。但这仅是直观判断，往后还有严格的检验办法。容易看出，如果样本容量愈大（即n愈大），分组愈细（即m愈大），直方图就愈接近于概率密度曲线下的“曲边梯形”，所画光滑曲线也就愈接近于概率密度曲线。直方图法只适用于连续型总体的情形。对于离散型总体X，也可对X的分布律作近似图解。先列出样本值x1，x2，…，xn中相异的可能值，并按自小到大的顺序排列为t1＜t2＜…＜tk（k≤n），用唱票办法统计x1，x2，…，xn中取值于各tj（j＝1’2，…，k）的重复次数，将统计结果整理成类似于表1－2的形式（子区间（ti，ti＋1］相应改为离散值ti），进而画出类似于直方图的频率分布图，它是总体X的分布律的近似图解（见图1－2）。3.经验分布函数在此介绍一种对离散型与连续型总体均适用的经验分布函数，它是总体X的分布函数的良好近似。本书前言前言随着科学技术的发展，数理统计和最优化的理论与方法在人们的实际生活和工作中愈来愈广泛地被应用。目前，在高等院校中大部分理工科专业以及农林、医学，特别是经济管理类专业的研究生都要学习数理统计和最优化方法课程，甚至在高年级本科生中也开设这些课程。编者曾多次对工科研究生讲授过数理统计或运筹学。特别是近两年来，针对工学（工程）硕士研究生的需要，在开设《应用数学》（统计与优化）课程的教学实践基础上编写了这本教材。本书的取材和编排注意实用性，精简某些较长的数学推导与证明（仅指明参考书目），尽量帮助学生深入领会某些重要的统计思想和优化原理，着重掌握解决问题的具体方法。同时又适当注意培养学生（特别是研究生）具备一定的理论分析能力。编者希望本书能成为一本既便于教学也适合于自学的教材。要求读者具备工科高等数学、线性代数和概率论基本知识。讲授全书约需60学时，统计部分（前五章）和优化部分（后四章）各本书统计部分由秦明达编写，优化部分由范玉妹编写，最后由秦明达统一成稿。本书的编写得到北京科技大学研究生院、教务处、教材科和数力系的热情支持与帮助，谨此致谢！由于编者水平所限，错误之处在所难免，恳请读者批评指正。编者1997.12

暂缺《统计与优化》作者简介

     目录
   前言
   第一章 数理统计基本概念与抽样分布
    第一节 总体与样本
    一、总体与总体的分布
    二、样本与样本的分布
    三、样本的频数（频率）分布与直方图
    四、样本的数字特征
    五、统计量
    第二节 常用抽样分布及有关定理
    一、数理统计中的三个重要抽样分布
    二、与正态总体样本均值和样本方差有关的抽样分布定理
    习题
   第二章 参数估计
    第一节 点估计
    一、矩法
    二、极大似然估计法
    三、估计量的评选标准
    第二节 区间估计
    一、正态总体均值的区间估计
    二、两个正态总体均值之差的区间估计
    三、正态总体方差的区间估计
    四、两个正态总体方差之比的区间估计
    五、单侧置信区间
    习题
   第三章 假设检验
    第一节 正态总体均值的检验
    一、均值μ的检验法
    二、两类错误的概念
    第二节 正态总体方差的检验
    一、方差σ2的检验法（x2检验法）
    二、关于单侧检验问题
    第三节 两正态总体均值差和方差比的检验
    一、均值差μ1－μ2的检验
    二、方差比σ2/σ2的检验
    第四节 分布假设检验
    习题
   第四章 回归分析
    第一节 一元线性回归
    一、一元线性回归的数学模型
    二、对a、β和σ2的估计
    三、一元线性回归的假设检验
    第二节 预测与控制问题——回归分析的应用
    一、利用回归方程进行预测
    二、利用回归方程进行控制
    第三节 可线性化的一元非线性回归
    第四节 多元线性回归
    一、对β0，β1，β2和σ2的估计
    二、多元线性回归的假设检验
    三、多项式回归
    习题
   第五章 方差分析
    第一节 一元方差分析
    一、离差平方和的分解
    二、方差的比较——F检验法
    三、计算格式
    第二节 二元方差分析
    一、离差平方和的分解
    二、方差的比较——F检验法
    三、计算格式
    习题
   第六章 线性规划
    第一节 线性规划问题及其数学模型
    一、线性规划研究的若干问题
    二、线性规划问题的数学模型
    第二节 线性规划的基本概念和基本定理
    一、基本概念
    二、基本定理
    第三节 线性规划的图解法和几何理论
    一、图解法
    二、线性规划的几何理论
    第四节 单纯形法
    一、线性规划的典式
    二、迭代原理
    三、寻找第一个基本可行解的方法
    第五节 对偶单纯形法
    一、线性规划的对偶问题
    二、对偶理论
    三、对偶单纯形法
    第六节 运输问题
    一、平衡运输问题的数学形式
    二、平衡运输问题的表上作业法
    三、产销不平衡的运输问题
    习题
   第七章 多目标规划
    第一节 多目标规划的数学模型
    一、实例
    二、数学模型
    第二节 多目标规划问题的解集和象集
    一、各种解的概念
    二、解集合的性质
    三、象集
    第三节 目标规划
    一、线性目标规划的数学模型
    二、线性目标规划的求解方法
    习题
   第八章 动态规划
    第一节 动态规划的研究对象和特点
    一、动态规划的研究对象
    二、动态规划方法的特点
    第二节 动态规划的基本概念
    一、基本概念
    二、建立动态规划模型的基本条件
    第三节 动态规划的基本方程
    一、Bellman函数
    二、最优性原理
    三、基本方程
    第四节 动态规划的基本方法
    一、动态规划的递推方法
    二、动态规划的迭代方法
    第五节 动态规划的具体应用
    习题
   第九章 决策分析（论）
    第一节 决策的概念与分类
    一、决策模型
    二、决策程序
    三、决策分类
    第二节 随机型决策
    一、期望值法（准则）
    二、决策树法
    三、贝叶斯决策
    四、效用理论
    第三节 不确定型决策
    一、等可能性准则
    二、最大最小准则（max－min）
    三、乐观准则
    四、折衷准则
    五、后悔值准则
    习题
   附表
    习题答案
    参考书目