最优化原理

　　本书对所谓无限维最优化理论的基本内容提供一个系统的处理.全书共8章.头两章概括了阅读本书主要内容所需的预备知识，其中包括基本的泛函分析结果与非光滑分析.随后各章阐述最优化理论的基本论题：不等式系统与择一定理，一阶与高阶最优性条件，对偶理论，向量最优化等.本书一方面以紧凑的形式概括了最优化理论的标准内容，同时介绍了较多的新近研究成果，其中包括作者本人的一些结果.这部分内容涉及近年来引起广泛关注的一些研究领域，因而可能为有研究兴趣的读者架设起从基础理论通向研究前沿的桥梁.对于数学系的高年级大学生及有关理工科专业的硕士生，本书略加删节之后可作为教材使用.在当代科学发展进程中，对于最优化理论的日益广泛与紧迫的需要，已成为一种引人注目的潮流；有这种需要的科技工作者，将发现本书可提供一些有用的理论工具.近20年间，如果说有一个词，它既回响于科学殿堂，又流行于社会各界乃至市井街头；既闪耀着科学思想的火花，又融会着公众常识的直觉.那么，这个词就是优化或最优化（Optimiza"。n）.无论工程设计，生产经营，投资决策，经济运行，人才管理，社会结构，人们都在追求一种至上的境界，追求一种"极致"，这种普遍的冲动最终朝向最优化.而且，自然界本身早已按照最优化的原则决定其存在形态与演化方式.综观自然与社会，人们确信：最优化乃是任何事物趋于平衡时无可逃遁的一条规则.如此普遍的规则不可能没有与之相应的伟大数学理论！作为一门数学学科的"最优化"，非同寻常地热乎起来，乃为自然之势.最优化问题可简单地表述为：在给定条件下求一函数的极值点.在这种意义上，最优化理论源远流长.然而，只是到20世纪下半叶，关于最优化的一些基本结论才被发现.因此，作为一门独立数学学科的最优化，乃是最近几十年间数学迅速发展的产物.对一个最优化问题的解答自然分为两个部分.首先，必须回答该问题是否有解及其解集具有何性质.这方面的研究构成"最优化理论"，其基本内容正是本书所要介绍的.其次，对于一个确知其有解的最优化问题，具体求出其（准确或近似）解无疑有重大实际意义.一些愈来愈强有力的算法的涌现，正是近几十年来最优化方法的主要成就之一.这方面的内容将在本书的续著中加以介绍.本书以Banach空间作为处理最优化问题的基本空间框架.这看来是一种较合理的选择，它既不像Euclid空间那样失之过窄，也不像拓扑向量空间那样失之过宽.因此，本书所处理的实际上是"无限维最优化".本书尽了最大努力来证明：关于"有限维最优化"的许多结论，在某种更为简洁（因而也更自然）的形式下，也适用于无限维最优化.这是一个极令人鼓舞的事实，它不仅带来了具有高度概括性的统一理论，而且为最优化理论应用于数学物理及控制理论等领域开辟了道路.本书第一章给出全书所需的预备知识.对于"无限维最优化"这一课题来说，泛函分析无疑是必需的基本工具.第二章主要是为讨论"非光滑最优化"作准备的.部分地应最优化理论之需要而发展起来的"非光滑分析"，自身已成为一个内容丰富的独立学科，其应用价值已超出最优化理论之外.第三章所处理的"择一定理"包含了一系列互有联系的定理，它们在最优化理论中起着十分独特的作用，被誉为"最优化理论的基石"。读者将会发现，该章是作者最着力的部分之一，大部分结果被推进到迄今所知的最强的形式，不少结果属于作者且是第一次发表。我们认为，即使作为一个独立的研究课题，择一定理亦有非同寻常的引入之处；它所独具的优美逻辑形式在数学中是很典型的，第四、五两章无疑是本书的中心内容，其中概括了"单目标最优化理论"的主要基本结果.大部分结果基于近期文献，但作了尽可能的改进与整理，因而往往更具一般性或形式更为简洁.作者相信有一部分结果实质上是新的，当然，其合理性与价值仍有待读者审验.第六章所处理的向量最优化可分为两部分：其一是"标量最优化"的直接推广，这部分内容虽不可缺少，但不是最有意思的，它反映了一个理论在其发展进程中的例行扩张.另一部分则是真正体现向量序特色的内容，它包含许多远未完全克服的重大困难，因而对于喜欢应付严重挑战的研究者更具吸引力.对于这样一个问题与结果都在不断涌现的研究领域，本书作者只能谨慎地选择若干较成熟的材料，以作为对有兴趣读者的初步导引.从逻辑上看，第七章是第四章的自然发展.但"高阶问题"无疑具有更大的难度，因而不可期望与"一阶问题"同样成熟的结果.实际上，已有多种处理高阶最优性条件的方法，本书只是选择了其中的一种而已.本书所用的"高阶变分导数"不失为一个有效工具，以至作者对之情有独钟.但作者无意贬斥其他可行的选择.在任何意义上，本书前七章都不是最优化理论的一个全面总结，因而自然有许多重要内容未能涉及.最后的一章似乎应扮演"补遗"的角色，但该章短短的三节很难起到这种作用.从本书所能容许的篇幅来说，作者至此已该搁笔了，况且，对于那些非专章不能论其详的重要专题（例如灵敏度分析），简略的描述无异于一种轻率.由于已有预备性的第一章，本书基本上是自给自足的.作者并不追求各章的独立性，而是力图将全书组织成一个前后连贯的整体.我们认为，不同部分之间的密切联系有助于读者理解本书的内容.作者尽了很大努力去简化对内容的处理，其中包括采用一套特别有效的符号.这可能会影响本书的可读性，但要在一本区区二十余万字的书中容纳与本书相当的内容，任何作者在可读性与简洁性之间大概都很少有选择的余地.这使作者能够聊以自慰.凡想J帧利阅读本书的读者，务必浏览一下本书卷首的"记号与约定".本书的大部分内容曾在华中理工大学数学系"非线性分析讨论班"上讨论过，作者衷心感谢讨论班成员对于撰写本书的热诚支持.著者也衷心感谢华中理工大学出版社领导及编辑为本书顺利出版而作的大量努力。

　　胡适耕，湖南湘乡人，1967年毕业于湖南大学数学系，现为华中科技大学数学系教授、博士生导师。在拓扑格理论、动力系统、非线性分析、最优化理论、生物数学与经济数学等领域有一系列研究，已发表论文一百余篇，出版数学与经济学著作十余本。代表性著作有《非线性分析》、《最优化原理》、《全球化》、《泛函分析》等。

记号与约定
第一章  预备知识
  §1.1  基本泛函分析结果
  §1.2  微分理论
  §1.3  多值映射
  §1.4  锥与对偶锥
  §1.5  凸函数
  §1.6  极值
第二章  非光滑分析
  §2.1  次微分
  §2.2  Clarke次微分
  §2.3  次微分规则
  §2.4  极大函数
  §2.5  切锥
第三章  择一定理
  §3.1  Farkas引理
  §3.2  类凸性
  §3.3  Gordan定理与Gale定理
  §3.4  Motzkin定理
  §3.5  Minimax定理
  §3.6  Minimax定理导出的择一定理
第四章  一阶最优性条件
  §4.1  可行集的切锥
  §4.2  FritzJohn定理
  §4.3  Kuhn—Tucker条件
  §4.4  基于择一定理的最优性条件
  §4.5  充分条件
  §4.6  非光滑最优性条件
第五章  对偶理论
  §5.1  鞍点
  §5.2  Lagrange对偶
  §5.3  共轭泛函
  §5.4  Rockafellar对偶
  §5.5  Fenchel对偶：一般情况
  §5.6  Fenchel对偶：特殊情况
  §5.7  Mond—Weir对偶与Wolfe对偶
  §5.8  线性与二次最优化
第六章  向量最优化
  §6.1  向量极值
  §6.2  最优性条件
  §6.3  非光滑最优性条件
  §6.4  标量化
  §6.5  Lagrange对偶
  §6.6  Rockafellar对偶
  §6.7  Mond—Weir对偶与Wolfe对偶
第七章  高阶最优性条件
  §7.1  二阶条件：光滑情况
  §7.2  二阶条件：显而易见光滑情况
  §7.3  高阶变分集
  §7：4  变分导数
  §7.5  可行集的变分集
  §7.6  高阶必要条件
第八章  选择论题
  §8.1  具多值约束函数的极小问题
  §8.2  具无限个不等式约束的极小问题
  §8.3  值函数
参考文献
名词索引