高等数学（第三版 上册）

　　本书是普通高等院校理工科非数学类各专业（尤其是物理类专业）本科生的“高等数学”教材. 全书分上、下两册，其中上册除绪论外，共有六章，内容包括： 函数与极限、微积分的基本概念、积分的计算及应用、微分中值定理与泰勒公式、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学；下册共有六章，内容包括： 重积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程、无穷级数、广义积分与含参变量的积分、傅里叶级数.本书是作者在北京大学进行教学试点的成果，它对传统高等数学课程的内容体系做了适当的整合，力求突出数学概念与理论的实质，避免过分形式化，使读者对所讲内容感到朴实自然. 另外，本书强调数学理论与其他学科的联系. 书中附有历史的注记，简要叙述相关概念和理论的发展演变过程以及重要数学家的贡献. 本书语言流畅、叙述简洁、深入浅出、例题丰富，便于读者自学. 每小节配有适量习题，每章设置综合练习题，书末附有习题答案或提示，以供读者参考.本次修订的指导思想是： 在保持第二版的框架与内容结构不变的基础上，做了必要的修改与补充，以使本书更进一步贴近读者，更好地体现教学基本要求. 具体做法是： 对重要的数学概念和定理增加了解释性文字与具体实例，使学生便于理解与掌握；订正了原书中的一些误漏，并对语言进行了润色，使本书更好读易懂，便于学生自学；重新审定了原书中的“历史的注记”. 北京理工大学数学与统计学院的方丽萍教授执笔完成本次修订的大部分内容.本书有配套的学习辅导书，请读者参考《高等数学解题指南》（周建莹、李正元，北京大学出版社，2002）.

　　李忠、周建莹：：：：：：：李忠：北京大学数学科学学院教授，博士生导师，其研究成果曾获得国家科技进步奖（一等奖），并两次获得国家自然科学奖（三等奖）。1991年被国家人事部与国家评为“有突出贡献的中青年专家”。1993年被国家评为“国家优秀教师”。周建莹：北京大学数学科学学院教授。

绪论
第一章函数与极限
§1实数
1. 有理数与无理数
2. 实数集R的基本性质
3. 数轴与区间
4. 绝对值不等式
习题1.1
§2变量与函数
1. 函数的定义
2. 基本初等函数
3. 有界函数
习题1.2
§3序列极限
1. 序列极限的定义
2. 夹逼定理
3. 极限不等式
4. 极限的四则运算
5. 一个重要极限
习题1.3
§4函数的极限
1. 单侧极限
2. 双侧极限
3. 关于函数极限的定理
4. 自变量趋向于无穷大时函数的极限
5. 无穷大量
习题1.4
§5连续函数
1. 连续性的定义
2. 复合函数的连续性
3. 反函数的连续性
4. 间断点的分类
习题1.5
§6闭区间上连续函数的性质
习题1.6
第一章总练习题第二章微积分的基本概念
§1导数的概念
1. 导数的定义
2. 导数的四则运算
习题21
§2复合函数与反函数的导数
习题22
§3无穷小量与微分
1. 无穷小量的概念
2. 微分的概念
§4一阶微分的形式不变性及其应用
§5微分与近似计算
习题2.5
§6高阶导数与高阶微分
习题2.6
§7不定积分
习题2.7
§8定积分
1. 定积分的概念
2. 定积分的性质
习题2.8
§9变上限的定积分
习题2.9
§10微积分基本定理
习题2.10
第二章总练习题第三章积分的计算及应用
§1不定积分的换元法
1. 第一换元法
2. 第二换元法
习题3.1
§2不定积分的分部积分法
习题32
§3有理式的不定积分与有理化方法
1. 有理式的不定积分
2. 三角函数的有理式的不定积分
3. 某些根式的不定积分
习题33
§4定积分的分部积分法与换元法
1. 定积分的分部积分法
2. 定积分的换元法
3. 偶函数、奇函数及周期函数的定积分
习题34
§5定积分的若干应用
1. 曲线的弧长
2. 旋转体的体积
3. 旋转体的侧面积
4. 曲线弧的质心与转动惯量
5. 平面极坐标下图形的面积
习题35
*§6定积分的近似计算
1. 矩形法
2. 梯形法
3. 辛普森法
习题36
第三章总练习题第四章微分中值定理与泰勒公式
§1微分中值定理
习题41
§2柯西中值定理与洛必达法则
习题42
§3泰勒公式
§4关于泰勒公式的余项
习题44
§5极值问题
习题4.5
§6函数的凸凹性与函数作图
1. 函数的凸凹性
2. 函数作图
习题4.6
*§7曲线的曲率
习题4.7
第四章总练习题第五章向量代数与空间解析几何
§1向量代数
习题51
§2向量的空间坐标
习题52
§3空间中平面与直线的方程
1. 平面的方程
2. 直线的方程
习题53
§4二次曲面
习题54
§5空间曲线的切线与弧长
习题55
第五章总练习题第六章多元函数微分学
§1多元函数
1. 多元函数的概念
2. Rn中的集合到Rm的映射
3. Rn中的距离、邻域及开集
习题6.1
§2多元函数的极限
1. 二元函数极限的概念
2. 二元函数极限的运算法则与基本性质
*3. 累次极限与全面极限
习题6.2
§3多元函数的连续性
1. 二元函数连续性的定义
2. 关于二元函数连续性的几个定理
3. 映射的连续性
4. 有界闭区域上连续函数的性质
习题6.3
§4偏导数与全微分
1. 一阶偏导数的定义
2. 高阶偏导数
3. 全微分
习题6.4
§5复合函数微分法·一阶全微分的形式不变性与高阶微分
1. 复合函数微分法
2. 一阶全微分的形式不变性
3. 高阶微分
习题6.5
§6方向导数与梯度
1. 方向导数
2. 梯度
习题6.6
§7多元函数的微分中值定理与泰勒公式
1. 二元函数的微分中值定理
2. 二元函数的泰勒公式
习题6.7
§8隐函数存在定理
1. 一个方程的情况
2. 方程组的情况
3. 逆映射的存在性定理
习题6.8
§9极值问题
1. 二元函数的极值问题
2. 二元函数的最值问题
3. 条件极值
习题6.9
*§10曲面论初步
1. 曲面的基本概念
2. 曲面的切平面与法向量
习题6.10
第六章总练习题
部分习题答案与提示