微积分探幽：从高等数学到数学分析（上册）

　　微积分无疑是人类最重大的数学发明之一，其对于现代科学技术的意义已经无需多言，从几乎所有理工科专业的学生都要在入学之后立刻学习“高等数学”或“数学分析”课程即可看出。本书首先介绍微积分到数学分析的发展历史，着重于其中碰到的问题和解决问题的方法，然后从实数公理、自然数、有理数、无理数的实际模型开始，完整、严谨地向读者介绍美丽的微积分大厦的建造过程。作者希望为喜爱数学，想进一步了解数学的基础、学习数学严谨逻辑推理的读者提供一本故事化一点、话多一点、可读性强的书。将微积分尽可能平民化，使更多的人能够通过阅读学习一点这方面的知识，得到一些数学的逻辑训练是作者的追求。 本书也可作为大学“高等数学”“数学分析”课程的参考书，相信读者会在本书中更深刻地体会微积分的恢弘与幽远。对于希望考研究生的同学，以及想给自己孩子讲解一点微积分的家长，本书也能够提供许多有益的帮助。 具备中学数学知识是阅读本书的基本要求。

　　谭小江 北京大学数学科学学院教授，博士生导师。主要研究方向是复分析，复几何。长期从事数学分析，复变函数的教学工作。独自和与人合作出版了《数学分析》《复变函数简明教程》，《多复分析与复流形引论》等教材。多次获得北京大学优秀教学和教材奖。

目录

第一章 实数理论

1.1数学分析简史

1.2一些基本符号和逻辑用语

1.3实数公理

1.4利用 Dedekind 分割构造的实数模型

习题

第二章 极限理论

2.1序列极限的定义

2.2单调有界收敛定理

2.3区间套原理

2.4开覆盖定理

2.5聚点原理与 Bolzano 定理

2.6 Cauchy 准则

习题

第三章 函数极限与连续函数

3.1函数

3.2函数极限

3.3函数极限的存在问题

3.4连续函数

3.5连续函数的介值定理

3.7闭区间上连续函数的一致连续定理

习题

第四章 一元函数微分学

4.1无穷小和无穷大的阶

4.2导数和微分

4.3初等函数求导

4.4高阶导数和高阶微分

4.5 Lagrange 微分中值定理

4.6不定式与 LHospital 法则

4.7 Taylor 展开

4.8初等函数的 Taylor 展开

4.9函数的极值点、凸凹性和函数的拐点

4.10函数作图

习题

第五章 一元函数积分学

5.1定积分

5.2利用 Cauchy 准则来判别函数的可积性

5.3利用单调有界收敛定理来讨论函数的可积性

5.4 Riemann 积分的性质

5.5分部积分法与积分的变元代换

5.6微元法与积分在几何中的几个简单应用

习题

第六章 不定积分

6.1原函数与积分表

6.2积分换元法

6.3分部积分法

6.4有理函数的部分分式理论与不定积分

6.5三角函数有理式的不定积分

6.6某些无理函数的不定积分

习题

第七章 广义积分

7.1广义积分

7.2瑕积分

习题

第八章 无穷级数

8.1无穷级数

8.2利用广义积分来讨论无穷级数

8.3正项级数收敛的其他判别方法

8.4收敛级数的性质

8.5无穷乘积

习题

第九章 函数序列与函数级数

9.1函数序列的极限问题

9.2一致收敛与极限交换顺序

9.3极限与求导、极限与积分的顺序交换问题

9.4一致收敛的判别

习题

部分习题提示

索引