复变函数与积分变换

　　本书依据教育部高等学校“复变函数与积分变换”课程教学大纲要求编写，知识体系完整，逻辑性、系统性强.全书共8章，分两个部分：部分为复变函数，包括第1章至第6章；第二部分为积分变换，包括第7章和第8章.第1章介绍复数与复变函数，第2章介绍复变函数解析性，第3章介绍复变函数积分，第4章介绍级数，第5章介绍留数，第6章介绍共形映射，第7章介绍傅里叶变换，第8章介绍拉普拉斯变换.每章配备了小结和习题，书后附有习题参考答案.标*号的内容供读者选用. 本书内容丰富，通俗易懂，可作为理工科院校“复变函数与积分变换”或“复变函数”课程的教材或教学参考资料，也可供相关专业的科技工作者和工程技术人员参考.

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前言
第1章复数与复变函数1
11复数及其运算1
111复数的概念1
112复数的四则运算2
113共轭复数2
12复数的几何表示3
121复平面3
122复数的模与辐角3
123复数的三角表示与指数表示5
124复球面5
13复数的乘积与商乘幂与方根7
131复数的乘积与商7
132复数的乘幂与方根8
14复平面上的点集11
141点集的概念11
142区域12
143曲线12
144单连通区域与多连通区域13
15复变函数13
151复变函数的概念13
152映射的概念15
16复变函数的极限与连续16
161复变函数的极限16
162复变函数的连续19
第1章小结20
第1章习题22
第2章复变函数解析性24
21复变函数导数24
211复变函数导数的概念24
212求导运算法则25
213微分的概念26
214函数可导的充要条件26
22解析函数29
221解析函数的概念29
222函数解析的充要条件30
23调和函数32
231调和函数的概念32
232解析函数与调和函数的关系33
233共轭调和函数的概念33
234已知实部或虚部的解析函数的
表达式33
24初等函数36
241指数函数36
242对数函数37
243幂函数39
244三角函数与反三角函数40
245双曲函数与反双曲函数42
第2章小结43
第2章习题45
第3章复变函数积分48
31复变函数积分的概念48
311复变函数积分的定义48
312复变函数积分存在的条件及其
计算49
313复变函数积分的基本性质51
32基本定理及其推广52
321基本定理52
322基本定理的推广53
323原函数55
33柯西积分公式和高阶导数公式56
331柯西积分公式56
332解析函数的高阶导数58
第3章小结61
第3章习题63
第4章级数65
41复数项级数与幂级数65
411复数列的收敛性65
412复数项级数66
413幂级数68
42泰勒级数71
43洛朗级数74
431洛朗级数的概念74
432解析函数的洛朗展开式76
第4章小结79
第4章习题82
目录复变函数与积分变换第5章留数84
51孤立奇点84
511孤立奇点的分类84
512孤立奇点的性质85
513零点与极点的关系87
514解析函数在无穷远点的性质88
52留数89
521留数的定义89
522留数的计算规则89
523无穷远点的留数91
53留数在定积分计算上的应用93
531形如∫2π0R(cos θ,sin θ)dθ的
积分93
532形如∫+∞-∞R(x)dx的积分94
533形如∫+∞-∞R(x)eaixdxa>0,R(x)=P(x)Q(x)
的积分95
54辐角原理及其应用96
541对数原理96
542辐角原理97
543儒歇定理98
第5章小结99
第5章习题103
*第6章共形映射105
61解析变换的特征105
611解析变换的性质105
612保角变换与共形映射108
62分式线性变换109
621分式线性变换的定义109
622分式线性变换的映射性质110
623分式线性变换的应用114
63几个初等函数构成的共形映射116
631幂函数w=zn(n≥2为整数)116
632指数函数w=ez117
64黎曼定理及其简单应用118
641大模原理118
642施瓦茨引理119
643黎曼定理120
第6章小结123
第6章习题125
第7章傅里叶变换127
71傅里叶变换的概念127
711傅里叶级数127
712傅里叶积分129
713傅里叶变换130
72傅里叶变换的性质132
721基本性质132
722卷积与卷积定理135
73傅里叶变换的应用137
731单位脉冲函数(δ函数)的概念及其
性质137
732δ函数的傅里叶变换138
第7章小结139
第7章习题141
第8章拉普拉斯变换143
81拉普拉斯变换的概念143
811拉普拉斯变换的定义143
812拉普拉斯变换的存在定理145
82拉普拉斯变换的性质146
821基本性质146
822卷积定理150
83拉普拉斯逆变换152
831拉普拉斯反演积分公式152
832拉普拉斯逆变换定理153
84拉普拉斯变换的应用155
841求解常微分方程155
842综合应用举例156
第8章小结158
第8章习题160
附录162
附录A傅里叶变换简表162
附录B拉普拉斯变换简表164
习题参考答案169
参考文献177