数值分析与数理方程应用探索

　　本资料共分三个部分：第一部分为“数值分析学习辅导”，收录例题80道，包含数值分析的核心主干内容。具体有误差分析、插值、逼近、数值积分、数值微分、线性方程数值解、非线性方程数值解和常微分方程数值解。第二部分为“数学物理方程学习辅导”，收录例题49道，包含数学物理方程的核心主干内容。具体有微分方程基本知识提要、特征变换法、分离变量法、积分变换法和我校特色科研成果算子级数法。第三部分为“偏微分方程数值解初步”，收录例题4道。具体包括差商的计算、抛物型偏微分方程的有限差分法（向前欧拉方法）和椭圆型偏微分方程的有限差分法（五点菱形法）。在第三部分的最后还收录了油藏工程的一道数值算例。该算例紧扣石油工程实际，采用“五点菱形法”求解，是对数值分析与数理方程的实际应用的一个探索。

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I.数值分析学习辅导
1 误差分析
1.1 第一章 知识结构
1.2 误差的分类
1.3 误差与误差界
1.4 有效数字(含相对误差界的计算)
1.5 数值运算的误差估计
1.6 病态问题与数值稳定性
1.7 数值计算的基本原则
2 插值法与最小二乘法
2.1 第二章 知识结构
2.2 拉格朗日插值法
2.3 牛顿插值法
2.4 厄米特(Hermite)插值法
2.5 用正交多项式做最佳平方逼近
2.6 最佳一致逼近
2.7 最小二乘逼近
3 数值积分与数值微分
3.1 第三章 知识结构
3.2 数值积分的思维模式
3.3 代数精度
3.4 数值求积公式的收敛性与稳定性
3.5 插值型求积公式
3.6 复化求积公式
3.7 外推原理与龙贝格求积公式
3.8 数值微分
4 线性方程组的数值解法
4.1 第四章 知识结构
4.2 解线性方程组的直接解法
4.3 矩阵的三角分解
4.4 向量和矩阵的范数
4.5 直接法解线性方程组的误差分析
4.6 迭代法解线性方程组
4.7 雅克比(Jacobi，J)迭代法
4.8 高斯一赛德尔(Gauss—Seidel，GS)迭代法
4.9 超松弛迭代法
4.10 迭代法的收敛性
5 数值方法求非线性方程的根
5.1 第五章 知识结构
5.2 方程求根的二分法(bisection method)
5.3 方程求根的迭代法
5.4 迭代法的加速
6 常微分方程的数值解法
6.1 第六章 知识结构
6.2 Lipschitz存在唯一性定理
6.3 欧拉方法
6.4 梯形方法
6.5 改进欧拉方法
6.6 数值方法的阶
6.7 龙格一库塔(R—K)方法
7 数值分析部分补充练习
Ⅱ.数学物理方程学习辅导
1 微分方程基本知识提要
1.1 常微分方程基本知识提要
1.2 偏微分方程基本概念提要
2 特征变换法
2.1 特征变换法的基本思想
2.2 用特征变换法解无限长弦的自由振动
3 分离变量法
3.1 分离变量法解齐次问题
3.2 分离变量法解非齐次问题
3.3 圆形区域内拉普拉斯方程的第一类边值问题
4 积分变换法
4.1 傅里叶变换
4.2 拉普拉斯变换
4.3 积分变换法解偏微分方程
5 算子级数法
6 数理方程部分补充练习
Ⅲ.偏微分方程数值解初步
偏微分方程数值解初步
1.有限差分法的工具
2.向前欧拉法
3.五点菱形法
附录I 补充习题参考答案
1.数值分析部分
2.数理方程部分
附录Ⅱ 傅里叶变换简表
附录Ⅲ 拉普拉斯变换简表