计算

　　摩尔定律快要走到尽头，但计算革命不会终止。更好的软件编程、3D芯片和量子计算等方法应运而生，其中云计算将成为业界应对摩尔定律消亡的最佳手段，物联网（IoT）的兴起将让我们逼近一个"消失点”，此前计算机的形体从大到小，此后计算机将变得"无形”，使计算无处不在，智能融入日常生活。本书由计算专业领域的专家学者知名吴翰清执笔，代表他及背后的阿里公司，对计算这个科技终极命题的感悟、展望和深刻洞察。本书为三卷书中的第一卷，着眼于对计算非常重要的数学，覆盖了量重要的数学家、数学成就及相关史实及其关联。

　　吴翰清，毕业于西安交通大学少年班。清华大学创新领军工程博士（人工智能方向，在读）。2005年加入阿里，创建了阿里巴巴、淘宝、支付宝的安全体系，也是阿里云初创团队成员，是阿里安全从无到有、从有到强的亲历者。2017年开始致力于城市大脑的研究与建设，专注于构建机器智能系统。2017年入选 MIT 全球青年科技创新人才榜，是中国互联网安全领域入选 TR35 的第一人。2019年入选「大数据文摘」评选的「30位新生代数字经济人才」。2019年当选中国青年科技工作者协会第六届理事。公益项目“计算图书馆”发起人。目前正致力于人工智能的研究和创业。

导论 ....................................................................................................................................1
第一部分 计算的诞生
第 1 章 毕达哥拉斯的困惑..............................................................................................24
数的计算 .......................................................................................................................24
从数觉到计数 .......................................................................................................24
文明古国的计算 ...................................................................................................28
毕达哥拉斯学派 ...........................................................................................................30
柏拉图的理想世界 .......................................................................................................40
第一次数学危机 ...........................................................................................................44
无理数的发现 .......................................................................................................44
芝诺悖论：无穷之辩 ...........................................................................................46
演绎推理：逻辑学和几何学 .......................................................................................51
亚里士多德的逻辑学 ...........................................................................................51
欧几里得的《几何原本》 ...................................................................................55
悖论：推理的暗面 ...............................................................................................59
第 2 章 计算之术 ............................................................................................................62
代数：字符的计算 .......................................................................................................62
符号与代数 ...................................................................................................................63
零的诞生 ...............................................................................................................63
言辞代数 ...............................................................................................................65
未知量的表示 .......................................................................................................68
还原与对消 ...........................................................................................................70
代数符号 ...............................................................................................................73
求解多项式方程 ...........................................................................................................77
从数值解到代数解 ...............................................................................................77
三次方程的求根公式 ...........................................................................................81
不可约：复数的发现 ...........................................................................................84
数系的扩张 ...........................................................................................................89
代数基本定理 .......................................................................................................92
代数的结构 ...................................................................................................................94
求解一元五次方程 ...............................................................................................94
方程根的结构 .......................................................................................................95
伽罗瓦的遗珠 .....................................................................................................101
计算工具 .....................................................................................................................108
人类计算员 .........................................................................................................109
面向机器的计算思维 .........................................................................................111
第 3 章 莱布尼茨的计算之梦 ........................................................................................116
数理逻辑的创立 .........................................................................................................117
人类思想字母表 .........................................................................................................120
思想的大衍术 .....................................................................................................121
计算之梦 .....................................................................................................................125
思维规律的研究 .........................................................................................................127
19 世纪数理逻辑的复兴 ....................................................................................127
布尔的逻辑代数 .................................................................................................129
第二部分 计算的数学基础
第 4 章 数学的基础.......................................................................................................136
第二次数学危机 .........................................................................................................136
微积分的发明 .....................................................................................................136
消失的鬼魂：贝克莱悖论 .................................................................................139
分析的严格化 .....................................................................................................140
集合论的诞生 .............................................................................................................142
无穷大有多大 .....................................................................................................142
对角线方法 .........................................................................................................146
康托尔的超穷数 .........................................................................................................148
超穷基数与超穷序数 .........................................................................................148
连续统假设 .........................................................................................................152
算术的逻辑化 .............................................................................................................156
弗雷格的“概念文字” .....................................................................................156
自然数的定义 .....................................................................................................159
第 5 章 第三次数学危机 ...............................................................................................163
危机：罗素悖论 .........................................................................................................163
集合论悖论 .........................................................................................................163
自我指涉 .............................................................................................................165
悖论的解决方法 .................................................................................................168
逻辑主义进路 .............................................................................................................169
直觉主义进路 ...................................................................................................