四维流形的几何

　　本书对四维流形几何学的现代研究提供了清晰且易于理解的描述，是该领域的经典。书中对四维流形拓扑发展的主线进行了透彻的讲解——特别是四维流形的新不变量的定义——并且还对几何和全局分析的相关主题进行了广泛的处理。本书源自第一作者菲尔兹奖得主西蒙·唐纳森（S.K. Donaldson）在牛津大学1985年和1986 年的两份课程讲义，这些课程讨论杨-米尔斯理论在四维流形拓扑学中的应用。物理学中的杨-米尔斯理论可能有助于阐明四维流形几何中的深层问题，这一想法自 1984 年以来一直为数学家和物理学家的工作注入活力，并激发了许多令人兴奋的不同领域专家间的互动。这些结果对几何、拓扑和数学物理产生了深远的影响，并成为数学研究的主要动力。这个想法在很大程度上就归功于唐纳森爵士。全书的内容按两个目的组织起来。首要的目标是对这些新技术给出一个自足的综合处理，因为它们已经被应用于四维流形的研究中。第二个目标是把杨-米尔斯理论自身的一些发展，置于当代的微分和代数几何的框架中。不考虑拓扑上的应用，来自杨-米尔斯理论的想法自1970年代后期以来由众多数学家发展起来，已经指明了几何学的一个现代研究方向。本书作者尝试把这些想法中的一部分呈现出来，以期弥补教科书和研究论文间的差距。所有研究涉及该主题的数学和理论物理研究者都需要阅读本书。

　　西蒙·唐纳森（S.K. Donaldson），英国数学家，目前为伦敦帝国学院教授和纽约州立大学石溪分校西蒙斯几何与物理中心常任研究员，他还曾在牛津大学、普林斯顿高等研究院、斯坦福大学工作。80年代，当他还是一位牛津大学的研究生，利用从规范场论发展出来的技术手段，尤其是对椭圆偏微分方程的创造性应用，他找到了四维流形的系列不变量，进而发现特定的四维流形容许无穷多个微分结构，“震惊了数学界”（Atiyah，1986）。他获得的荣誉包括：菲尔兹奖.（1986）、英国皇家奖章（1992）、克拉福德奖（1994）、内默斯数学奖（2008）、邵逸夫奖（2009）、数学突破奖（2014）和沃尔夫奖（2020）等。他是英国皇家学会、美国国家科学院、法国科学院、俄罗斯科学院、瑞典皇家科学院等众多科学院的院士。彼得·克伦海默（P.B. Kronheimer），英国数学家，英国皇家学会院士，目前为哈佛大学William Caspar Graustein数学讲席教授，并曾担任数学系主任。他以规范场论及其在三维和四维拓扑学中的应用而闻名。他获得的荣誉包括：怀特海德奖（1993）、上沃尔法赫奖（1998）、维布伦几何学奖（2007）、杜博奖（2011）和斯蒂尔开创性研究贡献奖（2023）等。

Preface Four-Manifolds Connections The Fourier Transform and ADHM Construction Yang-Mills Moduli Spaces Topology and Connections Stable Holomorphic Bundles over Kähler Surfaces Excision and Gluing Non-Existence Results Invariants of Smooth Four-Manifolds The Differential Topology of Algebraic Surfaces Appendix Equations in Banach spaces Sobolev spaces III. Elliptic operators Sobolev spaces and non-linear problems Further Lp theory, integral operators References