数学大百科：生活中无处不在的数学及应用

　　本书细致、全面地介绍了身边的数学知识，共16章，包含一次函数、二次函数与方程、不等式，指数、对数，三角函数，导数，积分，高等微积分，数值分析，数列，图形与方程，向量，矩阵，复数，概率，统计学等在大多数行业中常用的数学知识。本书每一节分为3 个板块：首先，标明参考星级，指导读者按需掌握程度进行阅读；其后，列出知识点概述和公式、法则，用文字进行简单讲解并配以趣味小图画，非常易于理解；最后，具体介绍这个数学知识在实际生活或工作中的应用。本书不仅可以帮助读者加深学习或巩固数学知识，更能帮助读者了解数学在各方面的应用场景。本书适合中学生和大学生，以及数学爱好者阅读。

　　藏本贵文：出生于1978年1月。毕业于日本关西学院大学理学院物理系，作为工程师就职于大型半导体企业。目前专攻建模工作，运用微积分、三角函数、复数等，通过数学公式描述半导体元件的特性。著有多本数学科普书。 杨瑞龙：毕业于北京大学数学科学学院，现就职于一家机器人公司从事软件研发。译有《深度学习的数学》。

第 1章 初中数学回顾 001
1.0　导言　002
要点是扩展、抽象和逻辑　002
1.1　正负数　004
1.1.1　负数的计算可以用数轴来思考　004
应用　银行贷款与温度　005
1.2　无理数与平方根　006
1.2.1　要是没有无理数就好了……　006
1.2.2　为什么一定要分母有理化？　007
1.3　代数式　008
1.3.1　使用代数式的原因　008
1.3.2　抽象化的好处　009
应用　计算机程序要用代数式编写　009
1.4　交换律、分配律和结合律　010
1.4.1　显而易见的交换律　010
1.4.2　为什么代数式中不使用“÷”？　011
1.5　乘法公式与因式分解　012
1.5.1　不要想了，让你的手作出反应！　012
1.5.2　为什么要因式分解？　013
应用　通过因式分解来解释员工的努力与公司的效益之间
的关系　013
1.6　一元一次方程　014
1.6.1　方程是为了求未知数而建立的等式　015
应用　求商品的价格　015
1.7　联立方程　016
1.7.1　联立方程是具有多个未知数的方程　016
应用　求苹果和橘子的个数　017
1.8　比例　018
1.8.1　身边的比例的例子　018
1.8.2　坐标是什么？　019
1.9　反比例　020
1.9.1　身边的反比例的例子　020
应用　速度、时间、距离法则 = 比例·反比例　021
1.8.2　坐标是什么？　021
1.10　图形的性质（三角形、四边形、圆）　022
1.10.1　图形中最低限度要掌握的内容　023
1.11　图形的全等和相似　024
1.11.1　相似的含义　024
应用　为什么不能制造一架巨大的飞机　025
1.12　证明　026
1.12.1　为什么要学习证明？　026
应用　等腰三角形底角相等的证明　027
1.13　勾股定理　028
1.13.1　勾股定理很重要　028
1.13.2　把勾股定理扩展到立体图形　029
应用　电视屏幕的尺寸　029
专栏　绝对值就是距离　030
第　2章一次、二次函数与方程、不等式　031
2.0　导言　032
函数用来做什么？　032
为什么一次函数和二次函数很重要　032
如果通过图像来思考，方程和不等式就比较容易理解　033
2.1　函数及其定义　034
2.1.1　函数是什么　034
2.1.2　反函数、多变量函数、复合函数　035
2.2　一次函数的图像　036
2.2.1　一次函数是直线　036
应用　为什么斜率和截距很重要　036
2.3　二次函数及其图像　038
2.3.1　二次函数是抛物线　038
应用　为什么顶点很重要？　039
2.4　一元二次方程的解法　040
2.4.1　一元二次方程的三种解法　041
应用　点心铺的利润　041
2.5　一元二次方程的虚数解　042
2.5.1　当根号内为负数时　042
应用　虚数的价格!　043
2.6　一元二次方程的判别式、根与系数的关系　044
2.6.1　判别式是为了稍微方便一点　044
应用　快速解决问题　045
2.7　高次函数　046
2.7.1　随着次数增加而蜿蜒曲折　046
应用　使用高次函数拟合数值数据　047
2.8　因式定理和余式定理　048
2.8.1　通过具体的例子来思考，因式定理并不难　048
2.8.2　整式的长除法　049
应用　高次方程的解法　049
2.9　不等式的解法　050
2.9.1　不等式两边乘以负数时要注意！　050
2.9.2　二次不等式的解法　051
2.10　不等式与区域　052
2.10.1　不等式与区域的问题要仔细地画图表示　052
应用　通过线性规划最大化销售额　053
专栏　整数的素因子分解守护着网络和平　054
第3章指数、对数　055
3.0　导言　056
指数可以方便地处理很大的数和很小的数　056
对数是指数的逆　056
3.1　指数　058
3.1.1　指数是一种表示大数的技术　058
应用　求探测器“隼鸟号”的速度　059
3.1　指数的扩展　060
3.2.1　为什么要扩展指数　060
3.2.2　试着扩展指数　061
3.3　指数函数的图像及性质　062
3.3.1　指数函数的特征　062
3.3.2　指数函数的图像　063
应用　复利计算　063
3.4　对数函数的定义　064
3.4.1　对数是指数的逆　064
应用　对数的优势是什么？　065
3.5　对数函数的图像及其性质　066
3.5.1　对数函数的特征　067
应用　用对数定义熵　067
3.6　换底公式　068
3.6.1　使用换底公式的问题示例　068
3.6.2　为什么底数不能是1 或负数？　069
3.7　常用对数与自然对数　070
3.7.1　常用对数和自然对数的特征　070
应用　使用对数表进行计算　071
3.7.2　如何在计算机上计算指数和对数？　073
3.8　对数图的用法　074
3.8.1　怪异的轴的含义　074
应用　用对数图表示二极管电流- 电压特性　075
3.9　指数和对数的物理单位　076
3.9.1　表示指数的词头　076
应用　分贝和震级　077
专栏　数学世界的炸弹　078
第4章三角函数　079
4.0　导言　080
三角函数不是三角形的函数，而是表示波的函数　080
三角函数的要点　080
4.1　三角函数的基本公式　082
4.1.1　首先通过直角三角形掌握三角函数　082
应用　用三角法求高度　083
4.2　三角函数的扩展与图像　084
4.2.1　定义从直角三角形变为单位圆　084
4.2.2　画出三角函数的图像　085
应用　用三角函数表示波　086
4.3　三角函数的各个公式　088
4.3.1　让考生头疼的公式们　088
应用　智能手机中使用的无线电波频谱搬移　089
4.4　弧度制（弧度）　090
4.4.1　为什么使用弧度制？　090
4.4.2　计算机中三角函数的角度单位　091
4.5　正弦定理和余弦定理　092
4.5.1　考试中经常出现的正弦定理、余弦定理　092
应用　三角形的各种面积公式　093
4.6　傅里叶级数　094
4.6.1　所有的波都归结为正弦余弦　094
应用　声、光与频率的关系　095
4.7　离散余弦变换　096
4.7.1　智能手机照片中用到的三角函数　096
应用　图像的压缩方法　098
专栏　20 与20.00 的差异　100
第5章导数　101
5.0　导言　102
何为导数？　102
能处理无穷了　103
与积分的关系　103
5.1　极限与无穷大　106
5.1.1　容易被误解的极限　106
应用　复杂式子的阅读理解方法　107
5.2　导数（求导的定义）　108
5.2.1　首先掌握求导的大体印象　108
5.3　导函数　110
5.3.1　xn 的导数很简单　110
5.3.2　导函数的含义　111
5.4　三角函数、指数与对数函数的导数　112
5.4.1　三角函数的导数　112
5.4.2　自然常数登场　113
5.5　函数积的导数、复合函数的导数　114
5.5.1　验证公式的方法　115
5.5.2　像分数一样对待　115
5.6　切线的公式　116
5.6.1　如果理解了导数，切线应该很容易　117
应用　在计算机上编辑曲线　117
5.7　高阶导数与函数的凹凸性　118
5.7.1　高阶导数　118
应用　函数的凹凸性　119
5.8　中值定理与可导性　120
5.8.1　显然的定理？　120
5.8.2　可导性　121
专栏　不是分数？　122
第6章积分　123
6.0　导言　124
何为积分？　124
通过积分计算面积的方法　124
6.1　积分的定义与微积分基本定理　126
6.1.1　积分是求面积的工具　127
6.1.2　积分符号的含义　128
6.1.3　积分是求导的逆运算　128
6.2　不定积分　130
6.2.1　不定积分的方法　131
6.2.2　积分常数C 是什么　131
6.3　定积分的计算方法　132
6.3.1　定积分的计算方法　132
6.3.2　定积分的区间，面积的符号　133
6.4　分部积分法　134
6.4.1　显而易见的交换律　134
6.4.2　为什么代数式中不使用“÷”？　135
6.5　换元积分法　136
6.5.1　换元积分法是复合函数求导公式的逆　137
6.6　积分与体积　138
6.6.1　体积是把立体划分为无数块薄板算出　139
6.7　曲线的长度　140
6.7.1　曲线的长度是通过将其分成无限短的直线段来计算　141
6.8　位置、速度和加速度的关系　142
应用　牛顿运动方程　143
专栏　牛顿与莱布尼茨构建了微积分　144
第7章高等微积分　145
7.0　导言　146
本章的学习对高中生也有好处　146
微分方程的解是函数　146
处理多元函数　147
7.1　微分方程　148
7.1.1　微分方程是求函数的方程　148
7.1.2　微分方程的求解方法　149
应用　运动方程，放射性元素衰变　150
7.2　拉普拉斯变换　152
7.2.1　通过拉普拉斯变换容易求解微分方程　152
应用　求解电子电路的微分方程　153
7.3　偏导数与多元函数　154
7.3.1　多元函数的导数是偏导数　154
应用　多元函数的最大、最小值问题　155
7.4　拉格朗日乘数法　156
7.4.1　拉格朗日乘数法不用考虑“为什么”　157
应用　统计分析的最大值和最小值　157
7.5　多重积分　158
7.5.1　多元函数的积分是多重积分　159
应用　根据密度算出重量　159
7.6　线积分与面积分　160
7.6.1　多元函数有很多积分路径　161
应用　计算每条路径所需的能量　161
专栏　ε-δ 语言　162
第8章数值分析　163
8.0　导言　164
没有指令，计算机什么也做不了　164
数值处理的难度　164
8.1　线性近似公式　166
8.1.1　函数用切线来近似　166
应用　单摆的等时性是近似的　167
8.2　泰勒展开式、麦克劳林展开式　168
8.2.1　麦克劳林展开式用xn 之和来表示函数　169
应用　使用对数表进行计算　169
8.3　牛顿迭代法　170
8.3.1　用切线解方程的方法　170
应用　让计算机解方程　171
8.4　数值微分　172
8.4.1　在数值计算中，导数就是差商　172
应用　自行车加速数据的求导　173
8.5　数值积分（梯形公式、辛普森公式）　174
8.5.1　基于什么来求面积？　175
应用　指数函数积分值的计算　175
8.6　微分方程的数值解法（欧拉法）　176
8.6.1　欧拉法是用切线来近似曲线　176
8.6.2　双摆的运动　177
专栏　计算机用二进制进行计算　178
第9章数列　179
9.0　导言　180
学习数列的意义是学习离散　180
在数列中求和很重要　181
9.1　等差数列　182
9.1.1　相邻项之差为常数，因此是等差数列　182
应用　数一数金字塔的砖的数量　183
9.2　等比数列　184
9.2.1　定义从直角三角形变为单位圆　184
应用　计算逸失利益的莱布尼茨系数　185
9.3　符号Σ 的用法　186
9.3.1　Σ（Sigma）并不可怕　186
应用　Σ 的标记方法　187
9.4　递推公式　188
9.4.1　递推公式是局部地观察数列的式子　188
应用　元胞自动机和斐波那契数列　189
9.5　无穷级数　190
9.5.1　即使把无穷个数加起来也可能不会很大　190
应用　把循环小数用分数表示　191
9.6　数学归纳法　192
9.6.1　数学归纳法就像多米诺骨牌　192
9.6.2　数学归纳法的悖论　193
专栏　专栏：习惯希腊字母　194
第　10章图形与方程　195
10.0　导言　196
用数学式子来表示图形　196
极坐标的存在是为了让人轻松　196
10.1　直线的方程　198
10.1.1　作为图形的直线方程　199
应用　绘制直线的算法　199
10.2　圆的方程　200
10.2.1　把圆作为方程来看　200
应用　绘制圆的方法　201
10.3　二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）　202
10.3.1　椭圆、双曲线、抛物线的特征　203
应用　卫星的轨道　203
10.4　平移图形的方程　204
10.4.1　移动图形的方法　205
应用　CG 中也用到的仿射变换　205
10.5　中心对称和轴对称　206
10.5.1　对称变换引起的方程变化　207
应用　奇函数与偶函数的积分　207
10.6　旋转　208
10.6.1　旋转由三角函数表示　209
应用　转动参考系中的离心力和科里奥利力　209
10.7　参数　210
10.7.1　参数不是敌人　211
应用　摆线分析　211
10.8　极坐标　212
10.8.1　极坐标是指定方向和距离的坐标系　213
应用　船舶航行　213
10.9　空间图形的方程　214
10.9.1　通过比较二维（平面）和三维（空间）来 理解本质　215
专栏　数学中必需的空间认知能力　216
第　11章向量　217
11.0　导言　218
向量不仅仅是箭头　218
向量乘法可以用多种方式定义　219
11.1　作为箭头的向量　220
11.1.1　作为箭头的向量是具有大小和方向的量　221
应用　力的分解　221
11.2　向量的坐标表示、位置向量　222
11.2.1　用数字表示向量　223
应用　内分线段的点　223
11.3　向量的线性无关　224
11.3.1　线性无关很常见，线性相关是例外　224
应用　坐标轴的变换　225
11.4　向量的内积（平行和垂直的条件）　226
11.4.1　向量乘法不止一种　226
应用　给予货物的能量　227
11.5　平面图形的向量式方程　228
１1.5.1　为什么使用向量式方程　229
11.6　空间向量　230
11.6.1　空间向量的变与不变　231
应用　超弦理论：空间实际上是9 维的　231
11.7　空间图形的向量式方程　232
11.7.1　空间图形凸显向量式方程的优点　233
应用　三维CAD 数据的二维化　233
11.8　向量的外积　234
11.8.1　外积的结果为向量　234
应用　坐标轴的变换　235
11.9　速度向量与加速度向量　236
11.9.1　可以用向量分析平面上的运动　236
应用　匀速圆周运动的分析　237
11.10　梯度、散度、旋度　238
11.10.1　向量微积分并不可怕　239
应用　抽象化是价值　239
专栏　数学中必需的空间认知能力　240
第　12章矩阵　241
12.0　导言　242
矩阵用于向量的运算　242
矩阵与高中数学的关系　242
12.1　矩阵的基础及计算　244
12.1.1　注意矩阵的乘积　245
应用　程序的矩阵和数组　245
12.2　单位矩阵与逆矩阵、行列式　246
12.2.1　矩阵的除法使用逆矩阵　246
12.3　矩阵与联立方程组　248
12.3.1　用矩阵也可以求解联立方程组　248
应用　用高斯消元法解联立方程组　249
12.4　矩阵与线性变换　250
12.4.1　简洁的表示很有价值　251
应用　平移的表示方法　251
12.5　特征值和特征向量　252
12.5.1　直观地理解特征值、特征向量　253
应用　矩阵的对角化　253
12.6　3×3 矩阵　254
12.6.1　随着矩阵变大，计算变得复杂　255
应用　用高斯消元法求逆矩阵　255
专栏　应该在高中数学教矩阵吗？　256
第　13章数　257
13.0　导言　258
由人决定虚实　258
为什么要特意使用复平面？　258
13.1　复数的基础　260
13.1.1　注意复数的绝对值　260
应用　用复数表示反射系数　261
13.2　复平面与极坐标形式　262
13.2.1　复数与旋转很契合　263
13.3　欧拉公式　264
13.3.1　连接指数函数和三角函数的公式　264
应用　交流电路的复数表示　265
13.4　傅里叶变换　266
13.4.1　傅里叶变换的含义　267
13.4.2　函数的正交和内积是什么？　267
应用　无线通信技术与傅里叶变换　268
13.5　四元数（Quaternion）　270
13.5.1　通过四元数加深复数的理解　271
应用　CG 与火箭的旋转　271
专栏　虚数时间是什么？　272
第　14章概率　273
14.0　导言　274
概率的关键是语文的理解　274
现实的概率与数学的概率　274
14.1　情况数　276
14.1.1　情况数就是不重不漏　277
14.1.2　加法还是乘法？　277
14.2　排列数公式　278
14.2.1　考虑顺序时使用排列数公式　278
应用　最短路径问题　279
14.3　组合数公式　280
14.3.1　不考虑顺序时使用组合数公式　280
14.3.2　排列与组合的总结　282
应用　从杨辉三角推导出二项式定理　282
14.4　概率的定义　284
14.4.1　“等可能”的问题　285
应用　古典概率与试验概率　285
14.5　概率的加法定理　286
14.5.1　“互斥”是指没有公共部分　287
14.6　独立事件的概率公式　288
14.6.1　要从反面来理解独立　288
应用　购买纸尿裤的概率和购买啤酒的概率　289
14.7　独立重复试验的概率公式　290
14.7.1　独立重复试验考虑组合　290
应用　用于风险管理的泊松分布　291
14.8　条件概率和概率的乘法定理　292
14.8.1　条件概率是分母发生了变化　292
14.9　贝叶斯定理　294
14.9.1　如果理解了条件概率，定理的机制就很简单　294
应用　垃圾邮件判定　294
专栏　蒙特卡罗方法　296
第　15章统计学基础　297
15.0　导言　298
通过均值和标准差理解统计学的一半　298
正态分布是统计学上最大的发现　298
统计学成立的前提　299
15.1　均值　300
15.1.1　为什么要求均值？　300
应用　收入分布的分析　301
15.2　方差与标准差　302
15.2.1　标准差是离散程度的指标　303
15.2.2　为什么要平方？　304
15.2.3　用计算机计算方差和标准差时的注意事项　305
应用　过程能力指数　305
15.3　相关系数　306
15.3.1　相关系数表示两组数据之间相关性的强度　307
应用　投资组合　307
15.4　概率分布与期望值　308
应用　赌博的期望值　309
15.5　二项分布、泊松分布　310
15.5.1　二项分布和泊松分布的关系　311
应用　安打1 次数、不合格品个数　311
15.6　正态分布　312
15.6.1　为什么正态分布如此重要？　312
应用　正态分布的局限　313
15.7　偏度、峰度、正态概率图　314
15.7.1　把握偏离正态分布的程度　315
应用　正态概率图的用法　315
15.8　大数定律与中心极限定理　316
15.8.1　多少才算“很多”？　316
15.8.2　中心极限定理中呈现正态分布的是“样本均值”　317
专栏　数据是统计的灵魂　318
第　16章高等统计学　319
16.0　导言　320
完全交给计算机是不行的　320
统计推断是根据样本对总体作出推断　320
回归分析使预测未来成为可能　321
16.1　总体均值的区间估计　322
16.1.1　从样本的统计值推断总体均值　322
应用　日本成年男性的平均身高　323
16.2　总体比例的区间估计　324
16.2.1　从样本的统计值推断总体均值　324
应用　电视收视率　325
16.3　假设检验　326
应用　工厂之间产品的波动　327
16.4　简单回归分析　328
16.4.1　回归分析的含义　329
应用　广告效果　329
16.5　多元回归分析　330
16.5.1　多元回归是具有多个自变量的回归分析　330
应用　天气条件与产量的关系　331
16.6　主成分分析　332
16.6.1　主成分分析的目标　332
应用　品牌形象调查　333
16.7　因子分析　334
16.7.1　因子分析聚焦于意义　335
应用　顾客调查问卷分析　335
专栏　实用数学的最大敌人　336
结束语　337