本书是威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛的重要参考资料，其特色是将问题置于重要的数学主题的背景下。作者强调了竞赛中的问题与其他问题、课程和更高级主题的联系。最好的问题包含与当前重要研究相关的复杂思想的核心，但这些问题对本科生来说是可以理解的。问题的解答是根据美国数学月刊、数学杂志和参赛者的答案汇编而成的。多种解法可以增强读者的理解，拓展更多与手头问题相关的技术。此外，本书还包含延伸阅读的建议、每个问题的提示、完整的解答以及有关竞赛的背景信息。本书作为深入理解数学的途径，适合学生、教师以及任何对解题感兴趣的人阅读。每一章都解决了几个现实问题，同时介绍了所需的建模优化技术和仿真。这使读者可以了解这些方法是如何使用的，从而更容易掌握基础知识。—CERN Courier本书对于任何对数学竞赛感兴趣或只是尝试挑战大学水平数学的人来说都是无价的。所有的理论都是从简单、易于陈述和美丽的问题开始的，而本书提供了丰富的内容。—The London Mathematical Society

本书简明介绍了 20 世纪数学的六个精选领域，这些领域提供的许多现代数学工具被应用于计算机科学、工程和其他领域的当代研究。这六个领域包括测度论、高维几何、傅里叶分析、群的表示、多元多项式和拓扑。对每个领域，作者都介绍了基本概念、示例和重要结果。本书清晰易懂，强调直观理解，并包括精心挑选的练习。在理论计算机科学和离散数学中，理论与应用是相辅相成的——有些应用相当令人惊讶。各章相互独立，读者可以按任何顺序学习。本书假设读者已经完成了基础数学课程。尽管本书是作者在教授博士生理论计算机科学和离散数学时构思的，但它适合更广泛的读者阅读，例如其他研究方向的数学家、决心深入钻研的数学专业学生，或者工程及其他领域的专家。本书包含六章，可以独立阅读，每章研究一个数学论题……写得很用心，比讲义集要好。这样的书是学生所需要的，可以作为标准教科书的补充，展示了古典数学的更多特殊应用。希望有更多这样的书。—Athanase Papadopoulos， ZMATH本书源于作者教授计算机科学研究生的经验，这些研究生需要某些数学主题的背景知识。由于这些学生所学的基础课程没有涵盖这些主题，因此作者决定在横跨几个学期的课程中介绍它们，并适当扩展其讲义，最终形成本书……我喜欢阐释性的书籍，因为我认为，特别是在专业化程度日益提高的今天，它们十分有用，不仅适用于学生，也适用于专业人士，这些专业人士想要了解其他领域正在发生的事情，或者需要一个领域的背景知识来研究另一个领域。本书就是这类书籍的一个很好的代表。—Mark Hunacek， MAA Reviews

热带几何学是代数几何学的一个组合投影，为计算代数簇的不变量提供了新的多面体工具。它基于热带代数，其中两个数的和是它们的最小值、乘积是它们的和。这将多项式转化为分段线性函数，将其零点集转化为多面体复形。热带簇保留了其对应的经典簇的大量信息。热带几何学是21世纪以来发展迅速的一门年轻学科，在将自己确立为一个独立领域的同时，它与纯数学和应用数学的许多分支都有着深刻的联系。本书完整地提供了热带几何学的介绍，适合初学该理论的研究生使用。本书对基本定理和结构定理等主要结果进行了证明，用大量的例子和计算解释了主要概念。每一章最后都提出了一些问题，这些问题将帮助读者实践他们的热带几何学技能，并获取相关研究文献。

得到了忠实读者的赏识和他们具有建设性反馈意见的鼓舞，在此我们呈现《数学反思》一书：本书编撰了同名网上杂志2018和2019卷的修订本.该杂志每年出版六期，从2006年1月开始，它吸引了世界各国的读者和投稿人.为了实现使数学变得更优雅，更激动人心这一个共同的目标，该杂志成功地鼓舞了具有不同文化背景的人们对数学的热情.本书的读者对象是高中学生、数学竞赛的参与者、大学生，以及任何对数学拥有热情的人.许多问题的提出和解答，以及文章都来自于热情洋溢的读者，他们渴望创造性、经验，以及提高对数学思想的领悟.在出版本书时，我们特别注意对许多问题的解答和文章的校正与改进，以使读者能够享受到更多的学习乐趣.这里的文章主要集中于主流课堂以外的令人感兴趣的问题.学生们通过学习正规的数学课堂教育范围之外的材料才能开阔视野.对于指导老师来讲，这些文章为其提供了一个超越传统课程内容范畴的机会，激起其对问题讨论的动力，通过极为珍贵的发现时刻指导学生.所有这些富有特色的问题都是原创的．为了让读者更容易接受这些材料，本书由具有解题能力的专家精心编撰.初级部分呈现的是入门问题（尽管未必容易）.高级部分和奥林匹克部分是为国内和国际数学竞赛准备的，例如美国数学竞赛（USAMO）或者国际数学奥林匹克（IMO）竞赛.最后，但并非不重要，大学部分为高等学校学生提供了解线性代数、微积分或图论等范围内非传统问题的绝无仅有的机会.

微分几何中的一个基本问题是在流形上寻找正则度量。最著名的例子是Riemann面的经典单值化定理。Calabi引入极值度量是为了在K？hler几何的框架中找到这一结果的高维推广。本书介绍了对极值K？hler度量的研究，特别是关于射影流形上极值度量的存在与代数几何意义下的基本流形的稳定性猜想。本书阐述了猜想在分析和代数两方面的一些基本思想；概述了许多必要的背景材料，如基本K？hler几何、矩映射和几何不变理论。除了极值度量的基本定义和性质之外，本书也对该理论的几个亮点在研究生可以理解的水平上进行了讨论：关于K？hler-Einstein度量存在性的丘成桐定理、田刚的Bergman核展开、Donaldson的Calabi能量下界以及爆破的常标量曲率K？hler度量的Arezzo-Pacard存在定理。

几何群论是指利用来自拓扑、几何、动力学和分析的工具研究离散群。这一领域发展非常迅速，本书对在这一发展中发挥了关键作用的各种主题进行了介绍和概述。本书包含了帕克城数学研究所关于几何群论课程的讲义。该研究所开设了由该领域的专家提供的一系列密集的短期课程，旨在向学生介绍令人兴奋的、最新的数学研究。这些讲座与其他地方的标准课程不重复。该课程从适合研究生的导论水平开始，并引导到目前活跃的研究课题。本书的文章包括对CAT（0）立方体复形和群、现代小消去理论、一般CAT（0）空间的等距群的介绍，以及在映射类群和CAT（0）群的背景下对幂零亏格的讨论。一门课程概述准等距刚性，其他课程包括对外层空间的几何的探索、算术群的作用、关于格和局部对称空间的讲座、标记长度谱和扩展图，tau性质和近似群。本书是对几何群论感兴趣的研究生和研究人员的宝贵资源。

Poincaré 奖得主Barry Simon 的《分析综合教程》是一套五卷本的经典教程，可以作为研究生阶段的分析学教科书。这套分析教程提供了很多额外的信息，包含数百道习题和大量注释，这些注释扩展了正文内容并提供了相关知识的重要历史背景。阐述的深度和广度使这套教程成为几乎所有经典分析领域的宝贵参考资料。第3部分讨论了点态极限（通过包含遍历定理和鞅收敛来超越通常关注的Hardy-Littlewood极大函数）、调和函数和位势论、框架和小波、[Math Processing Error] 空间（包括有界均值振荡（BMO））以及最后一章中的许多不等式，包括Sobolev空间、Calderon-Zygmund估计和超压缩半群，进而回到第1部分的主题。本书可供专业研究人员（数学家、部分应用数学家和物理学家）、讲授研究生阶段分析课程的教师以及在工作和学习中需要任何分析学知识的研究生阅读参考。

纽结理论，作为纽结的数学的生动阐述，将吸引各种各样的读者，从寻求传统研究范围之外的经验的本科生，到想要这一学科的从容介绍的数学家。开始进一步研究计划的研究生将发现一个有价值的概述，读者不需要线性代数以外的训练就能理解书中展现的数学知识。当来自线性代数和基本群论的工具被引入来研究纽结的性质时，拓扑和代数之间的相互作用，称为代数拓扑，在书中提早出现。Livingston通过展示如何使用线性代数的技巧来解决一些复杂问题的主题（包括数学最美丽的主题之一——对称）的一般研究来引导读者。本书最后讨论了高维纽结理论，并介绍了该学科的一些最新进展——Conway， Jones和Kauffman多项式。补充部分介绍了作为代数拓扑核心的基本群。

这本精心编写的教材介绍了微分几何的美妙思想和结果。前半部分涵盖了曲线和曲面的几何，它们为一般理论提供了很多动力和直觉。第二部分研究一般流形的几何，特别强调联络和曲率。书中附有许多图表和示例。阅读本书之前需要先学习本科的数学分析和线性代数。新版做了很多修订，包括更多的图表和习题，并新增了很多精选习题的解答。 这个新版本是一个提升改进的版本，而上一版已经是关于微分几何和黎曼几何的优秀入门教材了。除了各种修订，作者还新增了许多问题的解答，以使本书更适合课堂使用。 —Colin Adams， Williams College Kühnel 的这本关于微分几何的书是对该主题的极好和有用的介绍。 ……关于微分几何有很多不同的观点，也有很多通往其概念的路径。本书提供了一个出色的、令人兴奋且优美的基础，可以用来探索这个深刻而基础的数学主题。 —Louis Kauffman， University of Illinois at Chicago

映射类群和Riemann曲面的模空间是2011年IAS/帕克城数学研究所研究生暑期班的主题。本书介绍了组成暑期学校的9个不同的讲座系列，涵盖了当前兴趣的精选主题。导论课程处理映射类群和Teichmüller理论。更高级的课程包括模空间的相交理论，多边形台球和模空间的动力学，映射类群的稳定上同调，Torelli群的结构和算术映射类群。该课程由该领域的专家提供的一系列密集的短讲座组成，旨在向学生介绍令人兴奋的、最新的数学研究。这些讲座与其他地方的标准课程不重复。本书是对Riemann曲面的模空间的拓扑、几何和动力学以及相关主题感兴趣的研究生和研究人员的宝贵资源。