图解数学简史：数学世界中不可不知的100个重大突破

　　数学无处不在，是日常生活中不可或缺的部分，支撑着世界上绝大多数的基本规律，从美丽的大自然到令人惊讶的对称性技术中，都能看到数学的影子。虽然数学的基本逻辑同宇宙一样古老，但人类直到近代才开始理解这个复杂的学科。那我们是如何发现数学并使之飞跃发展的呢？本书将告诉读者数学领域的100 个重大突破。书中以故事的形式讲述了你需要知道且十分重要的数学基本概念。从数学最初的“生命火花”—记数，来回顾我们的进步历程，通过古老的几何形状、经典悖论、逻辑代数、虚数、分形、相对论和形态弯曲等难题，淋漓尽致地为大家展示奇妙的数学世界。书中上百张精美的图片和富有启发性的图表，将为你展示数学这门极为重要的学科的100 座里程碑，以及它们是如何深远地影响我们的生活的。每个故事都占据4页，其中1 页为全彩图，3 页为文字内容，结构清晰明了。本书适合对数学及数学发展史感兴趣的读者阅读。

　　作者理查德·埃尔威斯是数学研究者，在英国利兹大学授课。他也为《新科学家》等杂志撰稿。埃尔威斯对于向公众解释数学原理很有热情，常进行报告，并在电台做节目。

1　记数的发展 1
数学符号 2
鸟类与蜜蜂中的记数 2
遗传与环境 3
2　记数签 5
莱邦博骨 5
伊香苟骨 6
一 —二—很多 6
艺术和几何 7
3　位- 值记号 9
古巴比伦数学 10
进位和借位 10
古巴比伦泥板 11
零的呼唤 11
4　面积和体积 13
面积问题 13
阿姆士莎草纸书 14
金字塔和莫斯科莎草纸书 15
5　毕达哥拉斯定理 17
神秘的毕达哥拉斯 17
毕达哥拉斯定理的内容 18
毕达哥拉斯定理的证明 19
毕达哥拉斯和距离 19
毕达哥拉斯定理与数论 19
6　无理数 21
集合与数 21
无理量度 22
Yale 碑 22
用反证法证明 23
7　芝诺的悖论 25
芝诺的悖论 25
阿基里斯和乌龟 26
离散系统和连续系统 27
8　柏拉图体 29
二维和三维几何 29
泰阿泰德理论 30
正多面体的宇宙 31
9　逻辑 33
亚里士多德的三段论 34
莱布尼茨、布尔和德摩根 35
10　欧几里得几何 37
亚历山大图书馆 37
欧几里得的《几何原本》 38
欧几里得几何 39
11　素数 41
素数的研究 41
哥德巴赫猜想 42
伯特兰定理 43
12　圆的面积 45
圆和正方形 46
π 的近似值 46
球体和圆柱体 47
13　圆锥曲线 49
阿波罗尼奥斯—
几何学圣 49
自然界中的圆锥曲线 50
14　三角学 53
相似和比例 53
喜帕恰斯的三角函数表 54
马德哈瓦和超越数 55
15　完全数 57
梅森素数 58
亏数和盈数 58
真因子和数列 59
16　丢番图方程 61
丢番图方程 61
希帕提娅的评注 62
丢番图的复兴 62
17　印度- 阿拉伯数字 65
吠陀时期和耆那教中的
数学 66
巴赫沙利手稿 66
阿拉伯人和欧洲人的传播 67
18　模运算 69
分钟、小时和天 69
中国剩余定理 70
费马小定理 70
高斯黄金定理 71
19　负数 73
婆罗摩笈多的《婆罗摩
历算书》 73
负数 74
除以零 75
20　代数学 77
代数学的诞生 77
方程与未知数 78
二次方程 79
21　组合学 81
阶乘 81
排列与组合 82
帕斯卡三角 82
二项式定理 83
22　斐波那契数列 85
五角星和黄金分割 85
艺术中的黄金分割 86
斐波那契数列 86
比奈公式 87
23　调和级数 89
收敛和发散级数 89
调和级数 90
巴赛尔问题 91
24　三次方程和四次方程 93
方程与解 93
三次与四次方程之争 95
25　复数 97
复数的运算法则 97
邦贝利代数 98
虚数单位—i 98
复数几何 99
26　对数 101
纳皮尔的对数 101
布里格斯的对数表 102
自然对数 102
微积分和对数 103
27　多面体 105
阿基米德的立体图形 106
星形正多面体 106
约翰逊几何体 107
28　平面图形的镶嵌 109
正镶嵌 109
非正镶嵌 110
开普勒半正平面镶嵌 110
双曲镶嵌 111
空间镶嵌 111
29　开普勒定律 113
开普勒定律 113
万有引力定律 114
牛顿的平方反比定律 115
30　射影几何 117
透视问题 117
笛沙格的新几何 118
笛沙格定理 118
31　坐标 121
勒内·笛卡儿 121
制图法 123
地图投影 123
32　微积分 125
牛顿和莱布尼茨之争 125
变化速率 126
梯度与极限 126
皇家判决书 127
33　微分几何 129
悬链线 129
伯努利王朝 130
等时降线问题 130
最速降线问题 131
34　极坐标 133
阿基米德螺线 133
对数螺线 134
极坐标 134
极坐标曲线 135
35　正态分布 137
点数问题 137
正态分布 138
中心极限定理 139
36　图论 141
柯尼斯堡七桥问题 141
图论 142
图形与几何 143
图论与算法 143
37　指数运算 145
复指数运算 146
幂级数 146
指数函数 147
欧拉公式 147
38　欧拉示性数 149
欧拉示性数 150
代数拓扑 151
39　条件概率 153
贝叶斯定理 153
条件概率 154
40　代数学基本定理 157
方程与实数 158
方程与复数 158
41　傅里叶分析 161
波与调和函数 162
干涉和傅里叶定理 162
42　实数 165
欧几里得的直线 165
函数与连续性 166
介值定理 167
43　五次方程 169
复杂方程 169
不可解方程 170
群论的诞生 171
44　纳维- 斯托克斯方程 173
流体力学的诞生 173
稠性与黏性 174
纳维- 斯托克斯方程 175
45　曲率 177
高斯曲率 177
高斯- 博内定理 178
46　双曲几何 181
欧几里得的平行公理 182
分水岭 182
弯曲的空间 183
47　规矩数 185
经典问题 185
旺策尔的解构 187
48　超越数 189
刘维尔超越数 190
超越数e 和π 190
康托和记数超越数 190
超越数和指数 191
49　多胞形 193
探究四维 193
柏拉图多胞体 195
50　黎曼zeta 函数 197
素数个数 197
黎曼猜想 198
素数定理 199
51　若尔当曲线定理 201
连续性和拓扑 201
若尔当- 布劳威尔
分离定理 202
亚历山大带角球 202
52　曲面的分类 205
带手柄的球面 205
莫比乌斯带 206
克莱因瓶 206
冯·戴克定理 207
53　基数 209
集合论的开端 210
幂集 210
54　壁纸群 213
对称性的可能性 213
17 个壁纸群 214
空间群 215
55　数字几何 217
皮克定理 217
里夫四面体 218
埃尔哈特的分析 219
56　罗素悖论 221
欧布利德的悖论 221
罗素悖论 222
公理集合论 223
57　狭义相对论 225
伽利略相对性原理 225
光速 226
洛伦兹变换 227
闵可夫斯基空间 227
58　三体问题 229
马和骑士 229
两体系统和三体系统 230
混沌 230
桑德曼级数 231
59　华林问题 233
拉格朗日四平方和定理 233
华林问题 234
希尔伯特- 华林定理 235
60　马尔可夫过程 237
醉汉走路 237
蛇梯棋 238
随机游走 238
61　广义相对论 241
张量演算 241
爱因斯坦场方程 242
测地线和自由落体 242
黑洞 243
62　分形 245
朱利亚集合 245
曼德博的分形革命 246
分形的世界 247
63　抽象代数 249
诺特的环 250
代数几何 251
64　扭结多项式 253
原子旋涡论 253
亚历山大多项式 254
扭结的不变量 254
65　量子力学 257
双缝干涉实验 257
波函数 258
薛定谔方程 259
66　量子场论 261
狄拉克方程 261
量子电动力学 262
粒子物理的标准模型 262
重整化和杨-
米尔斯理论 263
67　拉姆齐定理 265
宴会问题 266
无限的拉姆齐定理 267
68　 哥德尔不完备性
定理 269
希尔伯特的计划和
《数学原理》 270
哥德尔定理 271
哥德尔配数 271
69　图灵机 273
算法和证明 273
图灵机 274
丘奇- 图灵论题 274
可编程计算机 275
70　数值分析 277
牛顿法 278
微分方程 278
科学计算 279
71　信息论 281
二进制 281
信息传递 282
熵 283
72　阿罗不可能性定理 285
选举制度 285
社会选择理论 286
霍尔婚配定理 287
73　博弈论 289
博弈与冲突 290
囚徒困境 290
人工智能 291
74　异种球面 293
变形和平滑变形 294
异种球面和微分拓扑 295
75　随机性 297
数据模式和可压缩性 297
贝里悖论 298
复杂性的不可计算性 298
随机性和蔡汀的“Ω” 299
76　连续统假设 301
无限集的中间层 301
科恩的力迫法 302
77　奇点理论 305
尖点和交叉点 305
解决奇点 306
广中平佑的定理 306
突变理论 307
78　准晶体 309
平移对称性 309
彭罗斯贴砖 310
谢赫特曼的准晶体 310
79　友谊定理 313
友谊图 313
埃尔德什 314
埃尔德什数 315
80　非标准分析 317
理解数学结构 317
模型论 318
无穷小的回归 318
非标准分析 319
81　希尔伯特第十问题 321
算法和数字 322
可计算性和可枚举性 322
MRDP 定理 323
82　“生命”游戏 325
量化复杂性 326
细胞自动机 326
计算世界 327
83　复杂性理论 329
可计算性和时间花费 329
计算复杂性 330
N 和NP 331
84　旅行推销员问题 333
图论和优化问题 334
卡普定理 334
模拟退火算法 335
85　混沌理论 337
逻辑斯谛映射 338
周期3 意味着混沌 339
86　四色定理 341
地图着色问题 341
五色定理 342
计算机辅助证明 343
87　公钥密码 345
公开密钥 346
数字和密码 347
88　椭圆曲线 349
几何与数论 349
曲线和法尔廷斯定理 350
椭圆曲线 350
伯奇和斯维讷顿-
戴尔猜想 351
89　 威尔- 费伦泡沫
结构 353
帕普斯的六边形蜂巢 353
开尔文猜想 354
威尔- 费伦泡沫结构 354
90　量子计算 357
整数分解问题 357
秀尔算法 359
91　费马大定理 361
毕达哥拉斯三元组 362
费马数 362
证明过程 363
92　开普勒猜想 365
高斯格点 366
黑尔斯定理 367
93　卡塔兰猜想 369
连续幂 369
abc 猜想 371
94　庞加莱猜想 373
收缩环 374
超球面 374
里奇流 375
95　素数的轨迹 377
素数的级数 377
孪生素数 378
哈代- 李特尔伍德猜想和
H 假设 379
96　有限单群分类定理 381
对称性 381
有限群 382
戈朗斯坦的研究计划 382
族和散在群 383
97　朗兰兹纲领 385
模形式 385
罗伯特·朗兰兹 386
吴宝珠对基本引理的
证明 387
98　反推数学 389
证明论 389
有限组合理论 390
大基数公理 391
99　整数分拆 393
哈代和拉马努金 394
哈代- 拉马努金公式 395
分拆和模形式 395
100　数独 397
36 名军官问题 398
数独的线索 399
名词解释 400