从空间曲线到高斯：博内定理

　　《从空间曲线到高斯-博内定理》共分四个部分，十个章节，是论述空间曲线和曲面理论的一本入门读物。 第一部分阐明了本书使用的数学工具：向量的代数运算以及变向量的求导运算。第二部分讨论了曲线的基本概念，引入了弧长参数，也讨论了描述空间曲线变化的曲率与挠率这两个几何量。最后，证明了弗雷内-塞雷公式，并以此证明了曲线的基本定理：曲线的形状是由它的曲率与挠率决定的。第三部分主要讨论的是曲面上的三个基本形式以及曲面上的一些曲率。同时也讨论了曲面上的一些方程式，引入了黎曼曲率张量，并以此证明了高斯的“最了不起定理”。 第四部分讨论了曲面上的测地线，测地方程，以及欧拉公式，罗德里格斯公式，与恩尼珀定理等。在本书的最后一章——第十章中，证明了计算测地曲率的刘维尔公式，并用它证明了闭曲面的高斯-博内定理。据此，引入闭曲面的欧拉示性数，证明它是一个拓扑不变量。

　　冯承天，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》《从代数基本定理到超越数——一段经典数学的奇幻之旅》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终极结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

第一部分 向量及其运算

第一章 向量及其代数运算

1.1 向量的概念

1.2 向量的加法与减法

1.3 向量的数乘

1.4 向量的线性相关性

1.5 R3中的直角坐标系与标准正交基i，j，k

1.6 直角坐标系下向量加法与数乘的表达式

1.7 向量的内积

1.8 内积与投影

1.9 向量的向量积

1.10 向量的混合积

1.11 向量混合积的一些公式

1.12 求和符号与爱因斯坦规约

1.13 向量三重系

第二章 向量的微分运算

2.1 向量函数

2.2 多变量向量函数的偏导数

2.3 泰勒级数与链式法则

 

第二部分 曲线理论

第三章 有关曲线的一些概念

3.1 空间曲线的参数表示与正则曲线

3.2 容许参数

3.3 简单曲线

3.4 曲线的正投影

3.5 弧长的定义与弧长的计算

3.6 弧长参数作为容许参数

第四章 空间曲线的曲率、挠率以及弗雷内-塞雷公式

4.1 曲线的切线与切向量

4.2 切线方程与法平面方程

4.3 曲线的曲率与曲率向量k

4.4 应用：空间曲线是直线的充要条件

4.5 曲线的主法线与主法线单位向量n

4.6 主法线方程与密切面

4.7 曲线的挠率与副法线

4.8 挠率的计算公式

4.9 平面曲线与挠率

4.10 活动标架系与弗雷内一塞雷公式

4.11 曲线理论的一个基本定理

 

第三部分 曲面理论

第五章 曲面的概念与曲面上的、第二、第三基本形式

5.1 曲面的表示与正则曲面

5.2 曲面上的u1，u2曲线与切向量

5.3 练习：椭圆抛物面与环面丁

5.4 曲面上的切平面与活动标架系

5.5 曲面上的三个基本形式

5.6 曲面上的基本形式工

5.7 讨论：平面上的线元

5.8 I是du，dv的正定二次形式

5.9 x1，x2作为切平面上的基给出的一些结果

5.10 应用：曲面上曲线的弧长与曲面上的面积

5.11 曲面上的单位法向量

5.12 曲面上的第二基本形式Ⅱ

5.13 L，M，N的另一种表达式

5.14 曲面上的第二基本形式的几何意义

5.15 LN-M2在参数变换下的性质

5.16 曲面上点的分类

第六章 曲面上的一些曲率

6.1 法曲率向量与法曲率

6.2 kn与基本形式和第二基本形式的关系

6.3 法截线的法曲率±K

6.4 主曲率、高斯曲率与中曲率

6.5 以k1，k2为根的二次方程的判别式与曲面上的脐点

6.6 曲面上点的主方向

6.7 曲率线与u，v曲率系

6.8 一道说明题

第七章 曲面上的一些方程式

7.1 曲面上的基本方程之一——高斯方程

7.2 克氏符号Γh

7.3 曲面上的基本方程之二——魏因加滕方程

7.4 魏因加滕方程与第三基本形式Ⅲ

7.5 由曲面上的基本方程的可积条件给出的方程

7.6 黎曼曲率张量Rhijk与Rhijk

7.7 高斯的“绝妙定理”

7.8 I，Ⅱ，Ⅲ之间的一个关系

 

第四部分 高斯-博内定理

第八章 测地线

8.1 曲面上的测地线

8.2 最速降线与欧拉-拉格朗日方程

8.3 最速降线是摆线

8.4 曲面上的测地线应满足的微分方程

8.5 弧长作曲线参数时测地线满足的微分方程

第九章 曲率、法曲率与测地曲率

9.1 曲率向量、测地曲率向量与法曲率向量

9.2 测地曲率及其计算

9.3 继续讨论测地线

9.4 欧拉公式

9.5 罗德里格斯公式

9.6 渐近曲线

9.7 恩尼珀定理

第十章 高斯-博内定理

10.1 测地坐标系

10.2 测地坐标系的构成

10.3 用向量混合积、行列式及解析法来表示高斯曲率

10.4 曲线多边形与高斯-博内定理

10.5 测地曲率Kg的刘维尔公式

10.6 证明高斯-博内定理

10.7 闭曲面上的高斯-博内定理

10.8 欧拉示性数X（S）

10.9 欧拉示性数是一个拓扑不变量

10.10 应用：一些闭曲面的亏格

 

附录

附录1 曲线曲率的几何意义

附录2 Kn=II/I的另一种证明

附录3 曲面上点P的带符号的曲率K取极值时应满足的方程式

附录4 变分法中的欧拉-拉格朗日方程

附录5 最速降线是摆线

附录6 引入参数u，v使曲率线族成为u参数族与v参数族

附录7 测地曲率Kg的计算公式

附录8 证明K（EG-F2）2=[xuuxuxv][xvvxuxv]-[xuvxuxv]2

附录9 高斯曲率的行列式表达式

附录10 高斯曲率K在正交坐标系下的一个表达式

附录11 证明测地曲率Kg的刘维尔公式

附录12 关于在φdθ+εαi-2πn中，n=1的一个说明

参考文献