机器学习中的数学修炼

　　数学是机器学习和数据科学的基础，任何期望涉足相关领域并切实领悟具体技术与方法的人都无法绕过数学这一关。本书系统地整理并介绍了机器学习中所涉及的必备数学基础，这些都是笔者从浩如烟海的数学知识中精心萃取的，在学习和研究机器学习技术时所必须的内容。具体包括概率论与数理统计、微积分（主要是与最*化内容相关的部分）、凸优化及拉格朗日乘数法、数值计算、泛函分析基础（例如核方法赖以建立的希尔伯特空间理论），以及蒙特卡洛采样（拒绝与自适应拒绝采样、重要性采样、吉布斯采样和马尔科夫链蒙特卡洛）等内容。此外，为了帮助读者强化所学，本书还从上述数学基础出发介绍了回归、分类（感知机、逻辑回归、朴素贝叶斯、决策树、支持向量机、人工神经网络等）、聚类、降维与流形学习、集成学习，以及概率图模型等机器学习中的重要话题。

　　左飞博士，技术作家、译者。著作涉及人工智能、图像处理和编程语言等多个领域，其中两部作品的繁体版在中国台湾地区发行。同时，他还翻译出版了包括《编码》在内的多部经典著作。曾荣获“最受读者喜爱的IT图书作译者奖”。他撰写的技术博客（https：//baimafujinji.blog.csdn.net/）非常受欢迎，累计拥有近500万的访问量。

目录

第1章概率论基础

1.1概率论的基本概念

1.2随机变量数字特征

1.2.1期望

1.2.2方差

1.2.3矩与矩母函数

1.2.4协方差与协方差矩阵

1.3基本概率分布模型

1.3.1离散概率分布

1.3.2连续概率分布

1.3.3在R语言中使用内嵌分布

1.4概率论中的重要定理

1.4.1大数定理

1.4.2中心极限定理

1.5经验分布函数

第2章最优化基础

2.1泰勒公式

2.2里塞矩阵

2.3凸函数与詹森不等式

2.3.1凸函数的概念

2.3.2詹森不等式及其证明

2.3.3詹森不等式的应用

2.4泛函与抽象空间

2.4.1线性空间

2.4.2距离空间

2.4.3赋范空间

2.4.4巴拿赫空间

2.4.5内积空间

2.4.6希尔伯特空间

2.5从泛函到变分法

2.5.1理解泛函的概念

2.5.2关于变分概念

2.5.3变分法的基本方程

2.5.4哈密顿原理

2.5.5等式约束下的变分

第3章统计推断

3.1随机采样

3.2参数估计

3.2.1参数估计的基本原理

3.2.2单总体参数区间估计

3.2.3双总体均值差的估计

3.2.4双总体比例差的估计

3.3假设检验

3.3.1基本概念

3.3.2两类错误

3.3.3均值检验

3.4最大似然估计

3.4.1最大似然法的基本原理

3.4.2求最大似然估计的方法

3.4.3最大似然估计应用举例

第4章采样方法

4.1蒙特卡洛法求定积分

4.1.1无意识统计学家法则

4.1.2投点法

4.1.3期望法

4.2蒙特卡洛采样

4.2.1逆采样

4.2.2博克斯穆勒变换

4.2.3拒绝采样与自适应拒绝采样

4.3矩阵的极限与马尔可夫链

4.4查普曼柯尔莫哥洛夫等式

4.5马尔可夫链蒙特卡洛方法

4.5.1重要性采样

4.5.2马尔可夫链蒙特卡洛方法的基本概念

4.5.3米特罗波利斯黑斯廷斯算法

4.5.4吉布斯采样

第5章一元线性回归

5.1回归分析的性质

5.2回归的基本概念

5.2.1总体的回归函数

5.2.2随机干扰的意义

5.2.3样本的回归函数

5.3回归模型的估计

5.3.1普通最小二乘法原理

5.3.2一元线性回归的应用

5.3.3经典模型的基本假定

5.3.4总体方差的无偏估计

5.3.5估计参数的概率分布

5.4正态条件下的模型检验

5.4.1拟合优度的检验

5.4.2整体性假定检验

5.4.3单个参数的检验

5.5一元线性回归模型预测

5.5.1点预测

5.5.2区间预测

第6章多元线性回归

6.1多元线性回归模型

6.2多元回归模型估计

6.2.1最小二乘估计量

6.2.2多元回归实例

6.2.3总体参数估计量

6.3从线性代数角度理解最小二乘

6.3.1最小二乘问题的通解

6.3.2最小二乘问题的计算

6.4多元回归模型检验

6.4.1线性回归的显著性

6.4.2回归系数的显著性

6.5多元线性回归模型预测

6.6格兰杰因果关系检验

第7章线性回归进阶

7.1更多回归模型函数形式

7.1.1双对数模型以及生产函数

7.1.2倒数模型与菲利普斯曲线

7.1.3多项式回归模型及其分析

7.2回归模型的评估与选择

7.2.1嵌套模型选择

7.2.2赤池信息准则

7.2.3逐步回归方法

7.3现代回归方法的新进展

7.3.1多重共线性

7.3.2岭回归

7.3.3从岭回归到LASSO

7.3.4正则化

第8章逻辑回归与最大熵模型

8.1逻辑回归

8.2牛顿法解Logistic回归

8.3多元逻辑回归

8.4最大熵模型

8.4.1最大熵原理

8.4.2约束条件

8.4.3模型推导

8.4.4最大熵模型的最大似然估计

第9章聚类分析

9.1聚类的概念

9.2k均值算法

9.2.1距离度量

9.2.2算法描述

9.2.3应用实例

9.3最大期望算法

9.3.1算法原理

9.3.2收敛探讨

9.4高斯混合模型

9.4.1模型推导

9.4.2应用实例

9.5密度聚类与DBSCAN算法

第10章支持向量机

10.1线性可分的支持向量机

10.1.1函数距离与几何距离

10.1.2最大间隔分类器

10.1.3拉格朗日乘数法

10.1.4对偶问题的求解

10.2松弛因子与软间隔模型

10.3非线性支持向量机方法

10.3.1从更高维度上分类

10.3.2非线性核函数方法

10.3.3机器学习中的核方法

10.3.4默瑟定理

10.4对数据进行分类的实践

10.4.1基本建模函数

10.4.2分析建模结果

第11章贝叶斯推断与概率图模型

11.1贝叶斯公式与边缘分布

11.2贝叶斯推断中的重要概念

11.2.1先验概率与后验概率

11.2.2共轭分布

11.3朴素贝叶斯分类器

11.4贝叶斯网络

11.4.1基本结构单元

11.4.2模型推理

11.5贝叶斯推断的应用示例

11.6隐马尔可夫模型

11.6.1随机过程

11.6.2从时间角度考虑不确定性

11.6.3前向算法

11.6.4维特比算法

第12章降维与流形学习

12.1主成分分析

12.2奇异值分解

12.2.1一个基本的认识

12.2.2为什么可以做SVD

12.2.3SVD与PCA的关系

12.2.4应用示例与矩阵伪逆

12.3多维标度法

第13章决策树

13.1决策树基础

13.1.1Hunt算法

13.1.2基尼测度与划分

13.1.3信息熵与信息增益

13.1.4分类误差

13.2决策树进阶

13.2.1ID3算法

13.2.2C4.5算法

13.3分类回归树

13.4决策树剪枝

13.4.1没有免费午餐定理

13.4.2剪枝方法

13.5分类器的评估

第14章人工神经网络

14.1从感知机开始

14.1.1感知机模型

14.1.2感知机学习

14.1.3多层感知机

14.2基本神经网络

14.2.1神经网络结构

14.2.2符号标记说明

14.2.3后向传播算法

14.3神经网络实践

14.3.1核心函数介绍

14.3.2应用分析实践

第15章集成学习

15.1集成学习的理论基础

15.2Bootstrap方法

15.3Bagging与随机森林

15.4Boosting与AdaBoost

附录A信息论基础

附录B

参考文献