数理方程典型应用案例及理论分析

　　《数理方程典型应用案例及理论分析》一书，在参考同类教材的基础上，结合传统的理论推导，增加了相关应用案例的分析及求解过程，希望能激发课程学习者对专业的兴趣。全书共分为4章，前3章分别介绍热传导方程、波动方程和调和方程等3类典型方程，第4章介绍一般二阶线性偏微分方程的分类。每个章节遵循工程问题的分析、定解问题的提出、定解问题的求解及分析的思路，旨在引导学生在学习过程中能够结合本专业的知识，用数学方程描述工程或者生活中遇见的波动、传热等现象，并在特定的条件下对方程进行求解和分析。

　　尹丽洁，女，工学博士，同济大学副教授、博士生导师。主要研究方向为能源与环境、多相流数值仿真。主持国家自然科学基金青年基金1项，参与国家863计划、国家重点研发、上海市科委科研计划课题等纵向课题10余项。获教育部自然科学奖二等奖1项。

第1章热传导方程1

1．1热传导方程的导出3

1．1．1无内热源热传导方程的导出3

1．1．2有内热源热传导问题的导出4

1．2热传导方程的初边值问题7

1．2．1定解条件7

1．2．2定解问题9

1．3热传导方程初边值问题的分离变量法10

1．3．1叠加原理10

1．3．2分离变量法10

1．3．3非齐次热传导方程初边值问题15

1．4热传导方程柯西问题的积分变换法18

1．4．1傅里叶变换的概念和性质18

1．4．2齐次热传导方程柯西问题20

1．4．3非齐次热传导方程柯西问题21

1．5热传导方程的基本理论24

1．5．1极值原理24

1．5．2初边值问题解的唯一性和稳定性25

1．5．3柯西问题解的唯一性和稳定性26

1．6热传导方程的应用案例27

1．6．1无限大平壁导热问题27

1．6．2大颗粒炭内部热应力的分布及热应力破碎理论31

1．6．3电流传输导热问题33

1．6．4太阳能集热器导热问题35

1．6．5扩散问题41

1．6．6一维扩散反应问题43

1．6．7蔬菜大棚湿度扩散问题46

1．6．8非平衡截流子扩散问题49

小结52

习题52

第2章波动方程55

2．1波动方程的导出57

2．1．1弦振动方程的导出57

2．1．2膜振动方程的导出62

2．2弦振动方程的初边值问题64

2．3弦振动方程的柯西问题的行波法66

2．3．1达朗贝尔公式66

2．3．2传播波69

2．3．3依赖区间、决定区域和影响区域69

2．3．4半无界弦及有界弦的振动问题70

2．3．5非齐次弦振动方程的柯西问题72

2．4弦振动方程的初边值问题的分离变量法75

2．4．1弦振动方程的分离变量法75

2．4．2解的物理意义81

2．4．3非齐次弦振动初边值问题82

2．4．4非齐次边界条件83

2．5三维波动方程的柯西问题的球平均法85

2．5．1齐次三维波动方程的柯西问题85

2．5．2非齐次三维波动方程的柯西问题87

2．6二维波动方程的柯西问题的降维法89

2．7波的传播与衰减90

2．7．1依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥90

2．7．2泊松公式的物理意义、惠更斯原理92

2．8波动方程的基本理论93

2．8．1振动的动能和位能 93

2．8．2初边值问题解的唯一性与稳定性 94

2．8．3柯西问题解的唯一性与稳定性 97

2．9波动方程的应用案例100

2．9．1波动方程在均匀传输线方程中的应用100

2．9．2弦振动方程在斜拉桥上的应用101

2．9．3波动方程在动力打桩中的应用106

2．9．4波动方程在琴弦发声中的应用110

2．9．5波动方程在高频输电断路中的应用113

小结114

习题114

第3章调和方程117

3．1调和方程的导出119

3．2调和方程的边值问题120

3．3格林公式及其应用121

3．3．1格林公式121

3．3．2调和函数的基本性质122

3．4格林函数126

3．4．1格林函数的概念126

3．4．2格林函数的基本性质128

3．5静电源像法129

3．5．1球域的格林函数129

3．5．2半空间的格林函数131

3．5．3二维区域的格林函数131

3．6调和方程的基本理论134

3．6．1极值原理134

3．6．2边值问题解的唯一性136

3．7调和方程的应用案例137

3．7．1导体槽内的电位分布问题137

3．7．2油气渗流问题139

小结139

习题139

第4章二阶线性偏微分方程的分类141

4．1二阶线性偏微分方程的分类与化简143

4．1．1两个自变量二阶线性偏微分方程的分类143

4．1．2两个自变量二阶线性偏微分方程的化简144

4．1．3化二阶线性偏微分方程为标准型146

4．2三类方程的比较150

4．2．1线性方程的叠加原理150

4．2．2三类方程解的性质的比较152

4．2．3三类方程定解问题提法的比较155

小结158

习题159

参考文献160