矩阵论入门

　　《矩阵论入门》共5章，第1章是简要的预备知识，包括线性代数（矩阵消元法、置换矩阵、Schmidt正交化、镜面反射、分块矩阵的乘法），以及一元多项式的互素与整除；第2章是矩阵的各种分解式，也是对大学阶段线性代数的复习与提升，包括正规矩阵与酉相似、矩阵分解式、Moore-Penrose广义逆以及Hermite半正定矩阵的幂表达定理；第3章是较为完整的线性变换理论，也是《矩阵论入门》的理论核心，包括若干关于线性变换与矩阵的一一对应定理、根子空间分解定理以及Jordan标准形的简要现代处理、线性空间与线性映射（矩阵）的张量积与外幂；第4章是矩阵分析，包括向量范数及其诱导的矩阵范数、矩阵函数概要、特征值的估计（几个圆盘定理）、非负方阵与正方阵以及三个相关的核心定理、随机矩阵。第4章与第2章一起构成工科矩阵理论的核心内容，技巧性强且具有重要的应用背景。第5章收集了有关矩阵理论应用的一些关键词，方便读者搜索应用。《矩阵论入门》配备部分具有一定难度的题目（标记*），这些题目也是矩阵理论的重要内容；基于这一考量，对部分较难的题目给出了提示或解答。　《矩阵论入门》内容的编排，遵循由浅入深原则，特别强调逻辑一致性；在重视技巧性的同时，适度强调一定的思想性。

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目录
前言
符号说明
第1章 预备知识 1
1.1 线性代数 1
1.2 一元多项式的互素与整除 12
第2章 矩阵的分解式 18
2.1 几种常见的矩阵分解式 18
2.2 两个广义QR-分解 20
2.3 Schur引理、Hermite矩阵与正规矩阵 23
2.4 正规矩阵与实对称矩阵的谱分解 27
2.5 小二乘法与矩阵的奇异值分解 31
2.6 Moore-Penrose广义逆 37
2.7 Hermite半正定矩阵与Cholesky分解 41
第3章 线性变换与Jordan标准形理论 46
3.1 线性空间：回顾与展望 46
3.2 线性变换：与矩阵的联系 47
3.3 内积空间与酉（正交）变换 56
3.3.1 内积空间 56
3.3.2 酉变换与正交变换 58
3.4 线性空间的-子空间直和分解式与分块对角矩阵 60
3.5 根子空间分解定理 63
3.6 Jordan标准形 67
3.7 张量积、商空间与外幂 75
3.7.1 两个线性空间（线性映射、矩阵）的张量积 75
3.7.2 线性空间关于某个子空间的商空间 80
3.7.3 外幂 82
第4章 矩阵分析 85
4.1 矩阵的多项式/矩阵函数初探 87
4.2 范数 92
4.2.1 向量范数 92
4.2.2 矩阵范数 94
4.3 矩阵函数（续）103
4.3.1 利用Jordan标准形求复变量函数的矩阵函数 103
4.3.2 单个矩阵的强收敛、收敛与幂有界性 104
4.3.3 A的特征多项式的导函数是A的特征矩阵tE-A的伴随矩阵的迹 105
4.4 特征值的估计（几个典型圆盘定理） 107
4.4.1 Gerschgorin圆盘 107
4.4.2 Ostrowski圆盘 110
4.4.3 Brauer定理 112
4.4.4 弱不可约矩阵与Brualdi定理 113
4.5 正方阵与非负方阵 114
4.5.1 非负方阵的谱半径与正向量 115
4.5.2 正方阵与Perron定理 118
4.5.3 非负方阵的谱半径（续）121
4.5.4 不可约非负方阵与Perron-Frobenius定理 124
4.6 随机矩阵的基本性质 130
第5章 应用关键词 134
5.1 在数学以及其他学科分支中的应用 134
5.2 矩阵的奇异值分解 135
5.3 非负矩阵的分解 135
5.4 矩阵的广义逆 136
参考文献 137
部分习题提示与解答 138
索引 151