线性代数高级教程：矩阵理论及应用

　　本书涵盖了线性代数尤其是矩阵理论中所有基本且重要的内容，包括：向量空间，内积空间与赋范向量空间，分块矩阵，矩阵的特征值与特征向量、特征多项式与极小多项式，酉三角化与分块对角化，矩阵的相似与标准型，矩阵的三角化、对角化以及多个矩阵的同时对角化，交换的矩阵族，矩阵的各种分解，特征值交错现象与惯性定理，各种特殊而重要的矩阵（酉矩阵、Hermite阵与斜Hermite阵、对称阵与斜对称阵、半正定矩阵与正定矩阵、正规矩阵以及各种特殊的正规矩阵等）等. 此外，书中还配有一定数量、难度适宜的习题，启发读者进一步思考.

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译者序

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前言

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记号

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第0章预备知识

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01函数与集合

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02纯量

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03矩阵

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04线性方程组

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05行列式

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06数学归纳法

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07多项式

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08多项式与矩阵

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09问题

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010一些重要的概念

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第1章向量空间

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11什么是向量空间

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12向量空间的例子

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13子空间

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14线性组合与生成空间

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15子空间的交、和以及直和

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16线性相关与线性无关

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17问题

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18注记

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19一些重要的概念

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第2章基与相似性

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21什么是基

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22维数

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23基表示与线性变换

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24 基变换与相似性

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25维数定理

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26问题

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27一些重要的概念

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第3章分块矩阵

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31行与列的分划

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32秩

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33分块分划与直和

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34分块矩阵的行列式

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35换位子与Shoda定理

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36Kronecker乘积

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37问题

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38注记

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39一些重要的概念

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第4章内积空间

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41毕达哥拉斯定理

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42余弦法则

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43平面中的角与长度

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44内积

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45内积导出的范数

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46赋范向量空间

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47问题

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48注记

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49一些重要的概念

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第5章标准正交向量

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51标准正交组

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52标准正交基

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53GramSchmidt方法

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54Riesz表示定理

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55基表示

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56线性变换与矩阵的伴随

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57Parseval等式与Bessel不等式

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58Fourier级数

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59问题

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510注记

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511一些重要的概念

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第6章酉矩阵

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61内积空间中的等距

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62酉矩阵

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63置换矩阵

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64Householder矩阵与秩1射影

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65QR分解

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66上Hessenberg矩阵

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67问题

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68注记

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69一些重要的概念

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第7章正交补与正交射影

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71正交补

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72相容线性方程组的极小范数解

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73正交射影

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74最佳逼近

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75不相容线性方程组的最小平方解

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76不变子空间

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77问题

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78注记

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79一些重要的概念

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第8章特征值、特征向量与几何重数

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81特征值特征向量对

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82每个方阵有一个特征值

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83有多少个特征值

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84特征值在何处

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85特征向量与交换矩阵

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86实矩阵的实相似

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87问题

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88注记

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89一些重要的概念

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第9章特征多项式与代数重数

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91特征多项式

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92代数重数

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93相似与特征值重数

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94对角化与特征值重数

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95可对角化矩阵的函数计算

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96换位集

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97AB与BA的特征值

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98问题

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99注记

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910一些重要的概念

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第10章酉三角化与分块对角化

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101Schur三角化定理

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102CayleyHamilton定理

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103极小多项式

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104线性矩阵方程与分块对角化

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105交换矩阵与三角化

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106特征值调节与Google矩阵

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107问题

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108注记

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109一些重要的概念

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第11章Jordan标准型

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111Jordan块与Jordan矩阵

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112Jordan型的存在性

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113Jordan型的唯一性

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114Jordan标准型

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115微分方程与Jordan标准型

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116收敛的矩阵

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117幂有界矩阵与Markov矩阵

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118矩阵与其转置阵的相似性

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119AB与BA的可逆Jordan块

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1110矩阵与其复共轭矩阵的相似性

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1111问题

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1112注记

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1113一些重要的概念

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第12章正规矩阵与谱定理

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121正规矩阵

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122谱定理

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123偏离正规性的亏量

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124FugledePutnam定理

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125循环矩阵

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126一些特殊的正规矩阵类

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127正规矩阵与其他可对角化矩阵的相似性

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128正规性的某些特征

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129谱分解

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1210问题

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1211注记

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1212一些重要的概念

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第13章半正定矩阵

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131半正定矩阵

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132半正定矩阵的平方根

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133Cholesky分解

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134二次型的同时对角化

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135Schur乘积定理

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136问题

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137注记

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138一些重要的概念

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第14章奇异值分解与极分解

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141奇异值分解

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142紧致奇异值分解

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143极分解

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144问题

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145注记

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146一些重要的概念

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第15章奇异值与谱范数

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151奇异值与逼近

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152谱范数

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153奇异值与特征值

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154谱范数的上界

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155伪逆阵

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156谱条件数

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157复对称阵

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158幂等阵

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159问题

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1510注记

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1511一些重要的概念

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第16章交错与惯性

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161Rayleigh商

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162Hermite阵之和的特征值交错

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163加边Hermite阵的特征值交错

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164Sylvester判别法

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165Hermite阵的对角元素与特征值

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166Hermite阵的相合与惯性

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167Weyl不等式

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168正规矩阵的相合与惯性

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169问题

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1610注记

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1611一些重要的概念

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附录A复数

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参考文献

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索引

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