公理化集合论

　　康托尔的集合论是一种研究无穷的数学理论，它是现代数学和逻辑学的基础。遗憾的是，其中存在着矛盾，著名的矛盾是罗素悖论。为了消除悖论并保留康托尔集合论中的精华，数学家们做了大量的研究，其中有效的方法是公理化方法。因此，公理化集合论是用现代公理化的方法重建康托尔的朴素集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新公理的研究。这种方法把集合论变成了一种完全抽象的公理化理论。在这样的理论中，“集合”是一种不加定义的原始概念，集合的性质以及描述集合特点的理论由公理反映。在这些理论中，成熟的是ZF公理化集合论，加上选择公理（AC），通常记作ZFC。ZFC公理化集合论是整个20世纪集合论工作的主流。

　　李娜，女，南开大学哲学院教授；1978年2月入河南大学数学系读本科，后获理学学士学位，1989年7月获中国科学院软件研究所理学硕士学位；主要研究方向为数理逻辑、模态逻辑、集合论、抽象代数。

第1章 集合
1 集合的引入
2 性质
3 公理
4 集合的初等运算
第2章 关系-函数-序
1 有序对
2 关系
3 函数
4 等价与划分
5 序
第3章 自然数
1 自然数的引入
2 自然数的性质
3 递归定理
4 自然数的算术
5 运算和结构
第4章 有穷-可数和不可数集
1 集合的基数
2 有穷集合
3 可数集合
4 线序
5 完备的线序
6 不可数集合
第5章 基数
1 基数的算术
2 连续统的基数
3 基数的无穷和和无穷积
4 正则基数和奇异基数
5 基数的幂
第6章 序数
1 良序集
2 序数
3 替换公理
4 超穷归纳和递归
5 序数的算术
6 范式
第7章 阿列夫
1 初始序数
2 阿列夫的算术
第8章 选择公理
1 选择公理和它的等价
2 选择公理在数学上的应用
第9章 实数集
1 整数和有理数
2 实数
3 实直线的拓扑
4 实数集
5 博雷尔集
第10章 滤子和超滤
1 滤子和理想
2 超滤
3 闭无界集和稳定集
4 西尔弗定理
第11章 大基数
1 测度问题
2 大基数
第12章 基础公理和反基础公理
1 良基关系
2 基础公理
3 反基础公理
第13章 公理化集合论的各种系统
1 ZFC集合论系统
2 ZF-+AFA集合论系统
3 GB集合论系统
4 其他的集合论系统
参考文献