网络空间安全数学基础

　　本书全面系统地介绍网络空间安全所用到的数学知识，分为3部分，共12章。第1部分为数论，包括第1～6章，分别介绍整除、数论函数、同余、同余方程、二次同余方程、原根和指标；第2部分为代数系统，包括第7～9章，分别介绍代数系统和群、环和域、有限域；第3部分为网络空间安全的实用算法，包括第10～12章，分别介绍素性检验、整数分解、离散对数。 本书概念清晰，结构合理，讲解通俗易懂，内容深入浅出，适合作为高等学校网络空间安全、信息安全等专业本科生和研究生的教材，也可作为相关领域专业人员的参考读物。

　　杨波，陕西师范大学计算机科学学院二级教授、博士生导师，陕西省百人计划特聘教授，中国密码学会理事。已主持国家重点研发项目、国家自然科学基金等项目20余项。发表学术论文300余篇，出版学术著作及教材6部。在我社出版的《现代密码学》获得多项省部级奖项，发行57000册。

第1章整除1
1.1整除的概念、素数与合数1
1.2最大公因子、最小公倍数和算术基本定理4
1.2.1带余数除法4
1.2.2最大公因子6
1.2.3最小公倍数7
1.2.4算术基本定理9
1.3Euclid算法10
1.3.1Euclid定理10
1.3.2广义Euclid除法11
习题13

第2章数论函数15
2.1数论函数的定义15
2.2函数τ(n)和σ(n)17
2.3函数μ(n)及Mbius变换18
2.4函数φ(n)20
习题22

第3章同余23
3.1同余的概念及性质23
3.2剩余类与剩余系25
3.3简化剩余类与简化剩余系26
3.4Euler函数27
3.5Euler定理、Fermat定理及Wilson定理28
3.6求余运算与模运算29
3.7模指数运算31
习题32网络空间安全数学基础目录第4章同余方程34
4.1同余方程的基本概念34
4.2一次同余方程35
4.3一次同余方程组和中国剩余定理36
4.4模为素数的高次同余方程41
4.5模数为素数幂的同余方程44
习题46

第5章二次同余方程47
5.1二次同余方程的概念及二次剩余47
5.2Legendre符号50
5.3Jacobi符号55
5.4Rabin密码体制58
习题60

第6章原根和指标62
6.1指数和原根62
6.2指标与二项同余方程69
习题72

第7章代数系统和群73
7.1代数系统73
7.2群74
7.3子群和群同态77
7.4正规子群和商群79
习题84

第8章环和域85
8.1环和域的基本概念85
8.2子环和理想89
8.3多项式环90
习题93

第9章有限域94
9.1有限域的性质94
9.1.1有限域上的运算94
9.1.2有限域的加法结构95
9.1.3有限域的乘法结构95
9.2有限域的构造97
9.2.1最小多项式97
9.2.2有限域的存在性和唯一性99
9.3有限域上多项式的分解103
9.4有限域上的椭圆曲线点群110
9.4.1椭圆曲线110
9.4.2有限域上的椭圆曲线111
9.4.3椭圆曲线上的点数113
9.5椭圆曲线上的倍点运算113
习题115

第10章素性检验117
10.1Lucas确定性算法117
10.2Fermat可能素数和Euler可能素数118
10.3强可能素数120
10.4Lucas可能素数122
10.5Mersenne素数123
10.6椭圆曲线素性检验124
习题125

第11章整数分解126
11.1Fermat法126
11.2连分数法128
11.2.1连分数的概念128
11.2.2连分数的性质130
11.2.3连分数分解法132
11.3筛法134
11.3.1二次筛法134
11.3.2多重多项式的二次筛法134
11.4Pollard法135
11.4.1Pollard Rho法135
11.4.2P-1法136
11.4.3P+1法136
11.4.4椭圆曲线法137
习题138第12章离散对数139
12.1大步小步法139
12.1.1Shanks的大步小步法139
12.1.2Pollard Rho算法140
12.2SilverPohligHellman算法141
12.2.1p=2n+1时的SilverPohligHellman算法141
12.2.2任意素数时的SilverPohligHellman算法141
12.3指标法142
12.3.1Adleman的指标计算法142
12.3.2椭圆曲线上的指标计算143
习题143

参考文献144
第1章整除1
1.1整除的概念、素数与合数1
1.2最大公因子、最小公倍数、算术基本定理3
1.2.1带余数除法3
1.2.2最大公因子5
1.2.3最小公倍数10
1.2.4算术基本定理13
1.3Euclid算法17
1.3.1Euclid定理18
1.3.2广义Euclid除法19
习题20

第2章数论函数21
2.1数论函数的定义24
2.2函数τ(n)和σ(n)25
2.3函数μ(n)及Mbius变换27
2.4函数φ(n)28
习题30

第3章同余31
3.1同余的概念及性质33
3.2剩余类与剩余系35
3.3简化剩余类与简化剩余系36
3.4Euler函数38
3.5Euler定理、Fermat定理及Wilson定理39
3.6求余运算与模运算43
3.7模指数运算44

第4章同余方程45网络空间安全数学基础目录4.1同余方程的基本概念46
4.2一次同余方程47
4.3一次同余方程组和中国剩余定理49
4.4模为素数的高次同余方程53
4.5模数为素数幂的同余方程55
习题62

第5章二次同余方程63
5.1二次同余方程的概念及二次剩余63
5.2Legendre符号65
5.3Jacobi符号75
5.4Rabin密码体制80
习题82

第6章原根和指标83
6.1指数和原根83
6.2指标与二项同余方程88
习题97

第7章代数系统和群98
7.1代数系统98
7.2群100
7.3子群和群同态105
7.4正规子群和商群110
习题114

第8章环和域115
8.1环和域的基本概念115
8.2子环和理想118
8.3多项式环124
习题127

第9章有限域128
9.1有限域的性质128
9.1.1有限域上的运算128
9.1.2有限域的加法结构130
9.1.3有限域的乘法结构134
9.2有限域的构造138
9.2.1最小多项式138
9.2.2有限域的存在性和唯一性140
9.3有限域上多项式的分解142
9.4有限域上的椭圆曲线点群145
9.4.1椭圆曲线145
9.4.2有限域上的椭圆曲线148
9.4.3椭圆曲线上的点数153
9.5椭圆曲线上的倍点运算156
习题158

第10章素性检验159
10.1Lucas确定性算法163
10.2Fermat可能素数和Euler可能素数165
10.3强可能素数166
10.4Lucas可能素数168
10.5Mersenne素数169
10.6椭圆曲线素性检验170
习题171

第11章整数分解172
11.1Fermat法172
11.2连分数法173
11.2.1连分数的概念175
11.2.2连分数的性质177
11.2.3连分数分解法178
11.3筛法180
11.3.1二次筛法180
11.3.2多重多项式的二次筛法181
11.4Pollard法183
11.4.1Pollard Rho法183
11.4.2P-1法185
11.4.3P+1法186
11.4.4椭圆曲线法187
习题188

第12章离散对数189
12.1大步小步法189
12.1.1Shanks的大步小步法190
12.1.2Pollard Rho算法190
12.2SilverPohligHellman算法191
12.2.1p=2n+1时192
12.2.2任意素数时193
12.3指标法193
12.3.1Adleman的指标计算法194
12.3.2椭圆曲线上的指标计算194
习题195

参考文献196