大学生数学竞赛习题精讲（第3版）

　　本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学（微积分）等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中有精心选取的全国竞赛（非数学类）的部分原题。书中还给出了最近几届全国大学生数学竞赛（非数学类）的试卷，有别于试卷本身的“参考答案”，我们对部分题目重新做了解答，为读者提供了更高质量的参考解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。全部习题都附有较详细的解答，以便于读者自学。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，书中加入了一些历史上的数学名题，如“最速降线问题”“等周问题”“圆周率是无理数”； 还提供了一些数学新题，如“公路占地原理”“弯管的启示”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。

　　陈兆斗：1950年生人，理学硕士，中国地质大学（北京）数学教师，教授。多年参加北京市大学生数学竞赛的命题工作，并多次对学生做竞赛辅导。科研方面，参加过国家自然科学基金和863等科研项目；在国内外发表过30多篇论文。编写教材方面，编写出版了《高等数学（工本）》北京大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（工本）习题详解》清华大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（下册）》北京大学出版社（2008年）（主编）。

目录


第1部分要点、例题与习题


第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.1.1内容要点

1.1.2例题选讲

1.1.3习题汇编
 内容分类
一般数列的极限
递推、迭代数列的极限
数列的收敛速度
数列极限的综合题
函数极限
 特色题
数列极限的平均值例2
数列xn+1=c+xn的极限例3
用比值法和根值法求数列极限例5
数列an，n-p趋于零的速度比较例7（1）
lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7（2）
用施托尔茨定理求数列极限题10
用夹逼准则求数列极限题12
数列 sinnθ 的极限题15
用单调有界原理求数列极限题25
方程tanx=x的根所成数列的
极限题37
交叉迭代的数列极限题41
空间中4个点交叉迭代的点列
极限题43
幂指型极限的等价无穷小代换题51
用微分中值定理求极限题52
笛卡儿叶形线的渐近线题56


函数 (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的
极限题61
x→0+时函数 xxxx的极限题62
1.2一元函数的连续性

1.2.1内容要点

1.2.2例题选讲

1.2.3习题汇编
 内容分类
介值定理、零点定理与连续性
函数方程与连续性
连续函数的应用题
 特色题
2x的函数方程例1
椭圆的外切正方形例2
奇偶次多项式的实零点与最值例3
连续性与不动点例4
最大、最小函数的连续性题8
地球上的同温点题14
陈家全的百米世界纪录题15
方桌的平稳摆放问题题17
“一刀二饼”问题题19
第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.1.1内容要点

2.1.2例题选讲

2.1.3习题汇编
 内容分类
求导法

高阶导数

导函数的性质
微分中值等式
 特色题
用递推公式求x=0处arctanx的
高阶导数例3
导函数的极限定理例5

导函数的介值定理例7
微分中值等式的一般解法例10
函数行列式的导数题14
相关变化率题16
反函数的二三阶导数题27




导数不为零的函数是单调函数题33
导函数没有第一类间断点题34
重根与导函数题39
其他特色题题2，25（2），31
2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及
泰勒公式

2.2.1内容要点

2.2.2例题选讲

2.2.3习题汇编
 内容分类
泰勒公式
泰勒公式与不等式
函数的单调性与不等式
函数的凹凸性与不等式
函数的极值与最值
 特色题

函数展开为麦克劳林公式的常用
方法例1
麦克劳林公式与等价无穷小例2
泰勒公式与不等式例3，4
极值的高阶导数判别法例8
关于严格凹（凸）不等式例10
从低阶到高阶排列的4个无穷小题7
若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题24
反函数的凹凸性题29
平均值不等式题35
柯西不等式题36
凹凸函数与最值题44
数列 {nn}的最大项题46
函数∑ni=1|x－ai|的最小值题47
伯努利不等式(1+x)α≥1+αx题49
其他特色题
题9，26，27，28，32，37，39，54
2.3一元函数微分学综合题
 内容分类
导数与函数方程、恒等式
方程的根与导数
优化问题
其他综合题
 特色题
f(x)=tanx的函数方程题4
方程2x=x2+1有3个不同的实根
题17
多项式［(x2－1)n］(n)的实零点分布
题20
由图形判断x3－3x+p=0的根题26
公路上的选址问题与重心法题30
函数1+x+…+xn/n!的实零点题38
e是无理数题43
误差悖论与泰勒公式题45
与arctanx的高阶导数有关的问题题47
数列{nsin(2πen!)}的极限题50

最大熵原理题55

其他特色题
题1，10，14，15，24，42，49，57

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.1.1内容要点

3.1.2例题选讲

3.1.3习题汇编
 内容分类
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分
幂三指函数的积分
综合题
 特色题
有理函数积分的5个常见类型例1
三角函数有理式积分的常用换元法例2
函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封
闭性例8
非常规分解的有理函数的积分题2
∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题5
∫cosmxsinnxdx的递推公式题7
用倒代换计算的积分题10
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分
题13
函数系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题15
分段函数的原函数题26
3.2定积分及其在几何与物理中的
应用

3.2.1内容要点

3.2.2例题选讲

3.2.3习题汇编
 内容分类
定积分与广义积分的计算
积分等式及变限积分
定积分在几何与物理中的应用
 特色题
某些定积分的简算例2，题1
连接两点的最短路径是线段例4
求变项和的极限例5
定积分与微元法例6
图形绕斜轴的旋转体体积例7，题30
正交函数系题7,8
柱壳法求旋转体体积题29
椭圆外等距线的长度题38
惠更斯摆的等时性题44
旋轮线的等时性题45
其他特色题例3，题2，15，17，19，23
3.3定积分综合题
 内容分类
积分不等式
积分极限
其他综合题
 特色题
积分的柯西不等式题3
凹凸形函数的积分不等式与等式题15
积分极限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx题21
积分极限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x题29
原函数的奇偶性和周期性题32
圆周率π是无理数题37
最大微分熵题43
其他特色题题2,4，11，12,18，42，48

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.1.1内容要点

4.1.2例题选讲

4.1.3习题汇编
 特色题
下料问题例1
曲面上的蚂蚁寻路问题例2，题14
正劈锥的参数方程例3
默比乌斯带的参数方程例5
一般旋转曲面的参数方程例6
在椭球面上截圆题1
单叶双曲面是直纹面题6
欧拉四面体问题题8
齐次函数与锥面方程题11
空间圆的参数方程题15
礼花绽放题21
其他特色题题16，17，18
4.2多元函数的极限、连续与微分

4.2.1内容要点

4.2.2例题选讲

4.2.3习题汇编
 内容分类
多元函数的极限与连续
偏导数
全微分
高阶偏导数
综合题
 特色题
x2+y2的方向导数与偏导数例4
已知全微分求原函数例7，题18
高阶偏导数例10，题20
解偏微分方程例13，题31
极坐标下的偏导数题6
调和函数题21,22
一个二元函数的恒等式题34
齐次函数题38
其他特色题例8，题7，37
4.3多元函数微分学的应用

4.3.1 内容要点

4.3.2例题选讲

4.3.3习题汇编
 内容分类
多元函数微分学的几何应用
多元函数的极值与最值
多元函数微分学的综合题
 特色题
曲线簇的包络线例2，题6,7
等距线例3，题9
最远（近）点的垂线原理例5，题24,25，26，27
一个不寻常的切线问题题2
椭球面的切线束题10
柱面方程的特征题11
唯一极值非最值的例子题22
点到3条直线的距离之和最小题32
4点共圆时四边形的面积最大题36
三角形的费马点题37
其他特色题题15，21，37，38，
第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.1.1内容要点

5.1.2例题选讲

5.1.3习题汇编
 内容分类
重积分的计算与简算
重积分的一般变量代换
含参数的积分
积分不等式
求面积和体积问题
综合题
 特色题
重积分的对称奇偶性例1
用重心法计算的重积分例3
卷积的计算例7，题21
卷积的运算律题20
二次型与椭圆的面积题31
二次型与椭球的体积题33
其他特色题例5,6，题5，11，22，23，26，34，42，44
5.2曲线积分与曲面积分

5.2.1内容要点

5.2.2例题选讲

5.2.3习题汇编
 内容分类
曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
 特色题
用平移变换计算的一个曲线积分例1
闭曲线内部有奇点的曲线积分例2
调和函数的平均值定理例4
灵活选择的面积微元 例5
用积分坐标的转换计算曲面积分例6，题22
用轮换对称计算的曲面积分例9
凑原函数计算曲线积分题10
用对称奇偶性计算曲面积分题14
用斯托克斯公式计算曲线积分
题27，28
其他特色题题6，11，23，30
5.3多元函数积分学的应用

5.3.1内容要点

5.3.2例题选讲

5.3.3习题汇编
 内容分类
多元积分学的几何应用
多元积分学的物理应用
 特色题
用微元法解释对称奇偶性例1，题1
用曲线积分求柱面的面积例2
星形线的旋转面面积例3
圆锥面铺平后其上的曲线长度不变例4
公路隔离栏原理例5
公路占地原理例6
等周问题的证明例7
圆柱面铺平后其上的曲线长度不变
题2
咕噜金定理题6

弯管的启示题8
阿基米德定律的推导题16
旋转液面的形状题18
雪堆的融化问题题19

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.1.1内容要点

6.1.2例题选讲

6.1.3习题汇编
 内容分类
级数求和
正项级数
一般项级数
综合题
 特色题
拆项相消法求级数的和例1，题1
正项级数的敛散性与一般项趋于零的
速度例3
正项级数敛散性的积分判别法例4
条件收敛级数中的正负项级数例5
条件收敛的级数不满足加法交换律
例6
用泰勒公式分解级数例7，题29，30
级数的敛散性与数列的敛散性例8
比较法的极限形式不适合非正项
级数例9
一个二重级数的敛散性题17
数列xn=cosxn－1的敛散性题45
斐波那契数列与黄金分割比题47
无穷积分的敛散性与级数的敛散性题51,52
狄利克雷积分∫+∞0(sinx/x)dx条件收敛题53
压缩映射原理题58

其他特色题题13，14，31，34，35，48
6.2函数项级数

6.2.1内容要点

6.2.2例题选讲

6.2.3习题汇编
 内容分类
幂级数的收敛域
函数的幂级数展开式
幂级数求和
一般函数项级数
综合题
 特色题
两个幂级数和的收敛域例1
e－1/x2不能展开为麦克劳林级数例6
傅里叶级数的闭合性公式例8
幂级数 ∑∞n=1sinnn2xn的收敛域题5
斐波那契数列的母函数题14
∑∞n=0sinnx与∑∞n=0cosnx的收敛域题20
用傅里叶级数求数项级数的和题24
有理函数的幂级数特征题30，31
提不尽的银行存款题38
傅里叶级数的维尔丁格不等式题42
用傅里叶级数证明等周问题题43
其他特色题题19，25，34，37
第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.1.1内容要点

7.1.2例题选讲

7.1.3习题汇编
 内容分类
用初等积分法解微分方程
线性微分方程
综合题
 特色题
积分因子例1，题8，9
非齐次线性方程特解的算子解法例5,6，7，题11
二阶线性齐次方程的朗斯基行列式例8

由通解求方程形式题1
二阶常系数非齐次线性方程的一个新
解法题19
用逆算子求不定积分∫x3e2xdx题20
可化为常微分方程的偏微分方程题21
其他特色题题14,25

7.2微分方程的应用题
 内容分类
微分方程的物理应用
微分方程的几何应用
其他应用题
 特色题
将地球变为黑洞题1
滑行距离问题题2
浮筒的振动题3
单摆小幅摆动的周期题4
悬链线题7
最速降线问题题8
马王堆一号墓的年代考证题9
攀岩的路径题10
雨滴流淌的轨迹题11
曳物线题12
追线问题题13
横渡江河的线路题14
摆渡线路题15
4人追逐线路题16
盘山公路的修筑题17
湖泊污染的治理题18
降雪与扫雪问题题21
凶犯的排除题22
给CPU降温题23
新技术的推广题24
第2部分习 题 解 答


第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.2一元函数的连续性

第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及
泰勒公式

2.3一元函数微分学综合题

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.2定积分及其在几何与物理中的
应用

3.3定积分综合题

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.2多元函数的极限、连续与微分

4.3多元函数微分学的应用

第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.2曲线积分与曲面积分

5.3多元函数积分学的应用

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.2函数项级数

第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.2微分方程的应用

附录A中国大学生数学竞赛大纲
（非数学类）
附录B8~11届全国大学生数学竞赛预赛
（非数学类）赛题及解答
第8届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2016年）

第9届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2017年）

第10届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2018年）

第11届全国大学生数学竞赛预赛赛题
（非数学类，2019年）

附录C7~10届全国大学生数学竞赛决赛
（非数学类）赛题及解答
第7届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2016年）

第8届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2017年）

第9届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2018年）

第10届全国大学生数学竞赛决赛赛题
（非数学类，2019年）


附录D常用公式与记号

参考文献