数值分析

　　《数值分析》是针对理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。《数值分析》内容包括线性与非线性方程组的数值解法、数据（函数）插值、函数逼近与数据拟合、数值积分与数值微分、特征值计算及常微分方程数值解法，每章附有习题，部分章节附有思考题与编程计算题。《数值分析》阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。《数值分析》可以作为理工科大学相关专业的教材，并可供从事科学计算的科技工作者参考。

　　汪祥，男，汉族，1980年10月生，中共党员，博士研究生学历，三级教授、博导、南昌大学赣江特聘教授，现为南昌大学理学院数学系教师。先后主持和参与5项国家自然科学基金项目及20余项各类省部级项目（含江西省自然科学基金重点项目），以第一作者或通讯作者共发表SCI收录学术论文31篇，获江西省自然科学三等奖1项并入选江西省百千万人才工程和江西省青年科学家。

目　录
第1章 绪论\t1
1．1 数值分析的研究对象\t1
1．2 计算误差分析\t2
1．2．1 误差来源与分类\t2
1．2．2 误差与有效数字\t4
1．2．3 数值运算的误差估计\t7
1．2．4 算法的数值稳定性\t8
1．2．5 病态问题与条件数\t10
1．2．6 减少误差的途径\t11
1．3 数值计算方法的主要思想\t12
1．3．1 多项式求和的秦九韶算法\t12
1．3．2 迭代法与求开方值\t12
1．3．3 以直代曲\t13
1．3．4 加权平均的松弛技术\t13
习题一\t14
第2章 线性方程组的数值解法\t16
2．1 向量范数与矩阵范数\t17
2．1．1 向量范数\t17
2．1．2 矩阵范数\t20
2．1．3 方程组的性态条件数与摄动理论\t24
2．2 方程组的直接解法\t30
2．2．1 高斯消去法\t30
2．2．2 矩阵三角分解法\t38
2．2．3 平方根法\t45
2．2．4 三对角带状矩阵解法\t49
2．3 方程组的迭代解法\t52
2．3．1 迭代格式构造与收敛性\t52
2．3．2 雅可比迭代法\t57
2．3．3 高斯―赛德尔迭代法\t60
2．3．4 超松弛迭代法\t65
2．3．5 最速下降法与共轭梯度法\t70
2．3．6 埃尔米特和反埃尔米特分裂迭代法\t77
习题二\t81
思考题与编程计算题\t85
第3章 非线性方程（组）解法\t87
3．1 二分法\t87
3．1．1 判别有根区间\t87
3．1．2 用二分法求方程f (x)=0的实根近似值xk的步骤\t87
3．2 不动点迭代法\t89
3．2．1 不动点与不动点迭代法\t89
3．2．2 不动点迭代法的收敛性\t90
3．3 牛顿法\t94
3．3．1 牛顿迭代公式的构造\t94
3．3．2 牛顿法的收敛性与收敛速度\t95
3．4 割线法\t96
3．5 非线性方程组的迭代法\t97
3．5．1 非线性方程组\t97
3．5．2 求解非线性方程组的牛顿法\t98
习题三\t99
第4章 数据（函数）插值\t101
4．1 插值基本理论\t101
4．1．1 问题描述\t101
4．1．2 插值函数的几何意义\t102
4．1．3 多项式插值函数\t103
4．2 拉格朗日插值法\t106
4．2．1 线性插值函数与抛物线插值函数\t106
4．2．2 拉格朗日插值函数\t108
4．2．3 插值余项与误差分析\t109
4．2．4 高次插值的病态性质\t110
4．2．5 分段线性插值\t111
4．3 牛顿插值法\t112
4．3．1 差商表示法\t113
4．3．2 等距离插值\t114
4．4 埃尔米特插值法\t115
4．4．1 一阶埃尔米特插值\t116
4．4．2 高阶埃尔米特插值\t117
4．4．3 分段三次埃尔米特插值\t118
4．5 三次样条插值法\t119
4．5．1 三次样条函数\t119
4．5．2 三转角方程法\t120
4．5．3 三弯矩方程法\t123
4．5．4 样条插值函数的收敛性\t125
习题四\t125
思考题与编程计算题\t127
第5章 函数逼近与数据拟合\t128
5．1 基本概念\t128
5．1．1 范数与赋范线性空间\t128
5．1．2 函数逼近\t130
5．1．3 逼近函数存在与收敛性\t130
5．2 数据拟合的最小二乘法\t131
5．2．1 多项式拟合\t132
5．2．2 正交多项式的最小二乘拟合\t134
5．2．3 超定方程组的最小二乘解\t135
5．3 最佳平方逼近\t136
5．3．1 最佳平方逼近理论\t136
5．3．2 最佳平方逼近的求法\t139
5．4 正交多项式逼近\t140
5．4．1 正交多项式的性质与构造\t140
5．4．2 特殊正交多项式\t142
5．4．3 正交多项式的平方逼近\t148
5．5 最佳一致逼近\t150
5．5．1 最佳一致逼近理论\t150
5．5．2 最佳一致逼近多项式的求法\t153
5．5．3 切比雪夫多项式零点插值\t155
习题五\t157
思考题与编程计算题\t158
第6章 数值积分与数值微分\t159
6．1 引言\t159
6．1．1 数值求积的基本思想\t159
6．1．2 代数精度的概念\t160
6．1．3 插值型的求积公式\t161
6．1．4 求积公式的收敛性与稳定性\t162
6．2 牛顿―柯特斯公式\t163
6．2．1 柯特斯系数\t163
6．2．2 偶阶求积公式的代数精度\t165
6．2．3 几种低阶求积公式的余项\t166
6．3 复化求积公式\t167
6．3．1 复化梯形公式\t167
6．3．2 复化辛普森公式\t168
6．4 龙贝格求积公式\t170
6．4．1 梯形法的递推化\t170
6．4．2 龙贝格算法\t171
6．4．3 理查森外推加速法\t173
6．5 高斯求积公式\t176
6．5．1 一般理论\t176
6．5．2 高斯―勒让德求积公式\t180
6．5．3 高斯―切比雪夫求积公式\t182
6．6 数值微分\t183
6．6．1 中点法与误差分析\t183
6．6．2 插值型的求导公式\t184
6．6．3 利用数值积分求导\t187
6．6．4 三次样条求导\t189
6．6．5 数值微分的外推算法\t189
习题六\t190
第7章 特征值计算\t193
7．1 引言\t193
7．2 特征值估计理论\t193
7．3 幂法与逆幂法\t199
7．3．1 幂法\t199
7．3．2 降阶法\t200
7．3．2 加速迭代法\t201
7．3．4 逆幂法\t202
7．4 QR分解法\t203
7．4．1 向量变换\t203
7．4．2 矩阵QR分解\t206
7．5 雅可比法\t208
7．6 对称三对角矩阵特征值\t212
习题七\t215
思考题与编程计算题\t216
第8章 常微分方程的数值解法\t217
8．1 欧拉（Euler）法\t217
8．1．1 引言\t217
8．1．2 欧拉公式、后退欧拉公式与梯形公式\t218
8．1．3 改进欧拉公式\t221
8．1．4 计算公式的误差分析\t223
8．2 龙格―库塔（Runge-Kutta）法\t225
8．2．1 Runge-Kutta法的主要思想\t225
8．2．2 二阶显式Runge-Kutta公式\t226
8．2．3 四阶显式Runge-Kutta公式\t227
习题八\t230
思考题与编程计算题\t231
参考文献\t233