高维概率及其在数据科学中的应用

　　本书全面介绍高维概率的理论、关键工具和现代应用，涵盖Hoeffding不等式和Chernoff不等式等经典结果以及Matrix Bernstein不等式等现代发展，还介绍了基于随机过程的强大方法，包括Slepian、Sudakov和Dudley不等式等工具，以及基于VC维数的通用链和界。全书使用了大量插图，包括协方差估计、聚类、网络、半定规划、编码、降维、矩阵补全、机器学习、压缩感知以及稀疏回归的经典和现代结果。

　　Roman Vershynin是加州大学欧文分校的数学系教授，他研究数学和数据科学中的随机几何结构，特别是随机矩阵理论、几何泛函分析、凸和离散几何、几何组合学、高维统计、信息理论、机器学习、信号处理和数值分析. 他于2005年获得斯隆基金会的斯隆研究奖，2010年在海得拉巴举行的国际数学家大会上做受邀演讲，2013年获得洪堡基金会颁发的贝塞尔研究奖. 他的“随机矩阵非渐近分析导论”已经成为概率论和数据科学领域许多新研究者必不可少的教育资源。

本书赞誉
序言
前言
第0章　预备知识：用概率覆盖一个几何集1
　0.1　后注3
第1章　随机变量的预备知识4
　1.1　随机变量的数字特征4
　1.2　一些经典不等式5
　1.3　极限理论7
　1.4　后注8
第2章　独立随机变量和的集中9
　2.1　集中不等式的由来9
　2.2　霍夫丁不等式11
　2.3　切尔诺夫不等式14
　2.4　应用：随机图的度数16
　2.5　次高斯分布17
　2.6　广义霍夫丁不等式和辛钦不等式22
　2.7　次指数分布24
　2.8　伯恩斯坦不等式28
　2.9　后注30
第3章　高维空间的随机向量32
　3.1　范数的集中32
　3.2　协方差矩阵与主成分分析法34
　3.3　高维分布举例38
　3.4　高维次高斯分布42
　3.5　应用：Grothendieck不等式与半正定规划46
　3.6　应用：图的最大分割50
　3.7　核技巧与Grothendieck不等式的改良52
　3.8　后注55
第4章　随机矩阵57
　4.1　矩阵基础知识57
　4.2　网、覆盖数和填充数61
　4.3　应用:纠错码64
　4.4　随机次高斯矩阵的上界67
　4.5　应用：网络中的社区发现70
　4.6　次高斯矩阵的双侧界74
　4.7　应用：协方差估计与聚类算法75
　4.8　后注78
第5章　没有独立性的集中80
　5.1　球面上利普希茨函数的集中80
　5.2　其他度量空间的集中85
　5.3　应用:Johnson-Lindenstrauss引理89
　5.4　矩阵伯恩斯坦不等式92
　5.5　应用：用稀疏网络进行社区发现98
　5.6　应用：一般分布的协方差估计99
　5.7　后注101
第6章　二次型、对称化和压缩103
　6.1　解耦103
　6.2　Hanson-Wright不等式106
　6.3　各向异性随机向量的集中109
　6.4　对称化110
　6.5　元素不是独立同分布的随机矩阵112
　6.6　应用：矩阵补全114
　6.7　压缩原理116
　6.8　后注118
第7章　随机过程119
　7.1　基本概念与例子119
　7.2　Slepian不等式122
　7.3　高斯矩阵的精确界127
　7.4　Sudakov最小值不等式129
　7.5　高斯宽度131
　7.6　稳定维数、稳定秩和高斯复杂度135
　7.7　集合的随机投影137
　7.8　后注140
第8章　链142
　8.1　Dudley不等式142
　8.2　应用：经验过程148
　8.3　VC维数152
　8.4　应用：统计学习理论161
　8.5　通用链166
　8.6　Talagrand优化测度和比较定理169
　8.7　Chevet不等式170
　8.8　后注172
第9章　随机矩阵的偏差与几何结论174
　9.1　矩阵偏差不等式174
　9.2　随机矩阵、随机投影及协方差估计179
　9.3　无限集上的Johnson-Lindenstrauss引理181
　9.4　随机截面:M界和逃逸定理183
　9.5　后注186
第10章　稀疏恢复187
　10.1　高维信号恢复问题187
　10.2　基于M界的信号恢复188
　10.3　稀疏信号的恢复189
　10.4　低秩矩阵的恢复192
　10.5　精确恢复和RIP194
　10.6　稀疏回归的Lasso算法199
　10.7　后注203
第11章　Dvoretzky-Milman定理204
　11.1　随机矩阵关于一般范数的偏差204
　11.2　Johnson-Lindenstrauss嵌入和更精确的Chevet不等式206
　11.3　Dvoretzky-Milman定理208
　11.4　后注211
练习提示212
参考文献217
索引226