高维系统稳定性的几何判据

　　本书专注于利用几何方法来解决高维系统稳定性问题。系统地介绍了稳定性的基本概念以及一些公开问题;判定全局稳定性的Lyapunov-LaSalle稳定性定理；由Li和Muldowney所创立的基于高维Bendixson准则判定稳定性的几何方法；此外，还包括最近作者在Li和Muldowney几何方法的基础上，所改进的基于时间平均的稳定性的几何判据，以及利用此判据，来解决传染病和种群动力学中的涉及到的一些稳定性问题，完全地解决了Zeenman猜想，vandenDries

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前言

第1章 高维系统的稳定性问题 1

1.1 种群与传染病动力学中的微分方程模型 1

1.2 稳定性的概念 9

1.3 问题的阐述 20

附录 22

第2章 预备知识 24

2.1 向量与矩阵范数 24

2.1.1 赋范线性空间 24

2.1.2 诱导范数 27

2.1.3 矩阵的Lozinskii测度 30

2.2 函数的半连续性 31

2.3 Dini导数与函数的单调性 38

2.3.1 Dini导数的概念 38

2.3.2 连续单调函数与Dini导数 41

2.3.3 半连续单调函数与Dini导数 45

2.4 Gronwall-Bellman不等式 47

2.4.1 纯量函数型 47

2.4.2 向量函数型 51

2.5 外代数 58

2.5.1 对偶空间 58

2.5.2 多重线性函数 60

2.5.3 张量积 63

2.5.4 交错张量与k-形式 67

2.6 微分形式 77

2.6.1 切空间与余切空间 77

2.6.2 微分形式与外微分(导数)82

2.6.3 Lie导数 90

2.6.4 k-形式上的积分 93

2.6.5 外微分的应用 95

2.7 复合矩阵及其性质 97

第3章 线性系统的稳定性 103

3.1 解的结构 103

3.2 线性系统稳定性的概念 107

3.3 Lappo-Danilevskii系统的稳定性 113

3.4 扰动系统的稳定性 116

3.5 解的指数估计 121

3.6 线性周期系数系统 136

第4章 Lyapunov-LaSalle稳定性定理 146

4.1 线性化方法——Lyapunov间接法 146

4.2 Lyapunov稳定性定理 150

4.3 LaSalle不变性原理 161

4.3.1 极限集及其性质 161

4.3.2 半动力系统的持久生存 166

4.3.3 Krasovskii-Barbasin定理 186

4.3.4 LaSalle不变性原理 190

4.4 经典Lyapunov函数的构造 197

4.4.1 常系数线性系统的Barbasin分式 197

4.4.2 二次型方法的推广 200

4.4.3 变梯度法 201

第5章 轨道渐近稳定与全局渐近稳定 206

5.1 轨道稳定性概念 206

5.2 基于Poincare-Bendixson性质的全局稳定性判定 221

5.3 例题分析 223

第6章 Bendixson准则与全局稳定性 228

6.1 Bendixson准则 229

6.1.1 平面系统的Bendixson-Dulac准则 229

6.1.2 Butler-Schmid-Waltman判据 232

6.1.3 Busenberg Driessche准则 235

6.1.4 Li-Muldowney准则 241

6.1.5 Leonov-Boichenko准则 249

6.1.6 Bendixson准则的一些推广 256

6.2 全局渐近稳定性的一般原理 262

6.3 全局渐近稳定性的几何准则 263

6.4 不变流形系统的稳定性 271

第7章 Gompterz模型的稳定性问题 278

7.1 Gompterz模型的建立 278

7.2 Gompterz三维竞争模型的分类 280

7.3 Gompterz模型的全局稳定性 281

7.4 Jiang-Niu-Zhu的公开问题的解答 285

第8章 传染病模型的全局稳定性 289

8.1 Lyapunov函数与全局稳定性的判定 290

8.1.1 SIR传染病模型的全局稳定性 290

8.1.2 SIRS传染病模型的全局稳定性 291

8.1.3 SEIR传染病模型的全局稳定性 293

8.2 Li-Muldowney几何判据与全局稳定性 295

8.2.1 具有常数迁入的SEIRS模型 295

8.2.2 总人口变动的SEIRS模型 301

8.3 一些公开问题的解答 303

8.3.1 Liu-Hethcote-Levin猜想 303

8.3.2 Li-Graef-Wang-Karsai问题 304

8.4 具短暂免疫与总人口变动的SEIRS模型 308

第9章 Lotka-Volterra模型的全局稳定性 323

9.1 单调性原理与全局稳定性的判定 323

9.1.1 合作系统的单调性定理 323

9.1.2 K-单调系统的单调性定理 327

9.1.3 拟单调系统的单调性定理 340

9.1.4 离散扩散Lotka-Volterra系统的全局稳定性 352

附录 357

9.2 Lyapunov函数的构造与全局稳定性的判定 360

9.2.1 Volterra的Lyapunov函数 360

9.2.2 Chenciner的Lyapunov函数 363

9.2.3 MacArthur的Lyapunov函数 364

9.2.4 对角占优矩阵 366

9.3 Li-Muldowney几何方法与全局稳定性的判定 369

9.4 一些公开问题的解答 374

9.4.1 Wolkowicz问题 374

9.4.2 Zeemans猜想 375

9.4.3 Driessche-Zeeman猜想 375

9.4.4 Hofbauer-Sigmund猜想 376

9.4.5 Li-Wang猜想 377

参考文献 379