文化伟人代表作图释书系：算术研究

　　在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。 《算术研究》的正文则分为七章。第一章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书最精彩的内容。

　　卡尔.弗里德里希.高斯（1777－1855年），德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的天才美誉。他发现并证明了诸多数学方法和规律（如*小二乘法、正态分布、二次互反律等等），并能时常优雅地加以总结。他还是一个充满热情且工作认真的完美主义者，拒绝发布自己所认为的不完整和有瑕疵的作品，因此并不多产。其著作有：《算术研究》《天体运动论》《曲面的一般研究》《高等大地测量学理论》等。 译者简介： 邵林，男，生于1984年，大连理工大学学士、安徽大学翻译硕士。翻译作品有《钢琴演奏教程》等。

导读：高斯——离群索居的王子 / 5
第 1 章 同余数概论（第 1～12 条） / 1
第 1 节 同余的数，模，剩余和非剩余（2）
第 2 节 小剩余 （4）
第 3 节 关于同余的基本定理 （5）
第 4 节 一些应用 （8）
第 2 章 一次同余方程（第 13～44 条） / 9
第 1 节 关于质数、因数等的初步定理（10）
第 2 节 解一次同余方程 （17）
第 3 节 对于给定模求与给定剩余同余的数的方法（22）
第 4 节 多元线性同余方程组 （26）
第 5 节 一些定理 （29）
第 3 章 幂剩余（第 45～93 条） / 37
第 1 节 首项为 1 的几何数列各项的剩余构成周期序列 （38）
第 2 节 对于模 p（质数），数列周期的项数是数 p-1 的因数 （40）
第 3 节 费马定理 （42）
第 4 节 有多少数对应于某个项数为 p-1 的因数的周期 ?? （44）
第 5 节 原根，基和指标  （48）
第 6 节 指标的运算 （49）
第 7 节 同余方程 xn ≡ A 的根 （51）
第 8 节 不同系统的指标间的关系 （59）
第 9 节 适合特殊目的的基数 （62）
第 10 节 求原根的方法  （63）
第 11 节 关于周期和原根的几条定理 （66）
第 12 节 威尔逊定理 （67）
第 13 节 模是质数方幂  （72）
第 14 节 模为 2 的方幂 （78）
第 4 章 二次同余方程（第 94～152 条） / 81
第 1 节 二次剩余和非剩余（82）
第 2 节 当模是质数时，小于模的剩余的个数等于非剩余的个数（84）
第 3 节 合数是不是给定质数的剩余或非剩余的问题，取决于它的因数的性质  （86）
第 4 节 合数模（88）
第 5 节 给定的数是给定质数模的剩余或非剩余的一般判别法 （94）
第 6 节 给定的数作为剩余或非剩余的质数的研究 （95）
第 7 节 剩余为 -1 （96）
第 8 节 剩余为 2 和 -2（99）
第 9 节 剩余为 3 和 -3 （103）
第 10 节 剩余为 5 和 -5 （106）
第 11 节 剩余为 7 和 -7 （109）
第 12 节 为一般性讨论做的准备（110）
第 13 节 通过归纳法发现的一般的（基本）定理及其推论（116）
第 14 节 基本定理的严格证明 （123）
第 15 节 证明条目 114 的定理的类似的方法 （130）
第 16 节 一般问题的解法（132）
第 17 节 以给定的数为其剩余或非剩余的所有质数的线性形式（135）
第 18 节 其他数学家关于这些研究的著作（140）
第 19 节 一般形式的二阶同余方程（142）
第 5 章 二次型和二次不定方程（第 153～307 条） / 143
第 1 节 型的定义和符号 （144）
第 2 节 数的表示：行列式（145）
第 3 节 数 M 由型（a，b，c）表示时所属表达式 ( b2 ac ) -（mod M）的值 （146）
第 4 节 正常等价与反常等价 （150）
第 5 节 相反的型 （152）
第 6 节 相邻的型（154）
第 7 节 型的系数的公约数 （155）
第 8 节 一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系  （157）
第 9 节 歧型 （164）
第 10 节 关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系  （165）
第 11 节 关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系  （171）
第 12 节 行列式为负的型 （177）
第 13 节 特殊的应用（192）
第 14 节 具有正的非平方数的行列式的型（196）
第 15 节 行列式为平方数的型  （237）
第 16 节 包含在与之不等价的型中的型 （245）
第 17 节 行列式为 0 的型 （250）
第 18 节 所有二元二次不定方程的一般整数解 （253）
第 19 节 历史注释 （260）
第 20 节 将给定行列式的型进行分类（262）
第 21 节 类划分为层 （266）
第 22 节 层划分为族  （270）
第 23 节 型的合成（281）
第 24 节 层的合成（312）
第 25 节 族的合成 （313）
第 26 节 类的合成  （317）
第 27 节 对于给定的行列式，在同一个层的每个族中存在相同个数的类 （321）
第 28 节 不同的层中各个族所含类的个数的比较 （322）
第 29 节 歧类的个数  行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族（338）
第 31 节 对基本定理以及与剩余为 -1， 2，-2 有关的其他定理的第 2 个证明（339）
第 32 节 对不适合任何族的那一半特征的进一步讨论 （342）
第 33 节 把质数分解为两个平方数的特殊方法 （345）
第 34 节 关于三元型讨论的题外话  （347）
第 35 节 如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型 （384）
第 36 节 除了在条目 263 和 264 中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应 ? （386）
第 37 节 把数和二元型分解为三个平方数的理论 （388）
第 38 节 费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数 （398）
第 39 节 方程 ax2 by2 cz2＝0 的解  （400）
第 40 节 勒让德先生讨论基本定理的方法 （406）
第 41 节 由三元型表示零  （411）
第 42 节 二元二次不定方程的有理通解 （414）
第 43 节 族的平均个数 （415）
第 44 节 类的平均个数 （418）
第 45 节 正常原始类的特殊算法：正则和非正则行列式 （423）
第 6 章 前面讨论的若干应用（第 308～334 条） / 433
第 1 节 将分数分解成更简单的分数  （435）
第 2 节 普通分数转换为十进制数 （437）
第 3 节 通过排除法求解同余方程 （444）
第 4 节 用排除法解不定方程 mx2 ny2＝A （448）
第 5 节 当 A 是负数时，解同余方程 x2≡A 的另一种方法 ? （455）
第 6 节 将合数同质数区分开来并确定它们的因数的两种方法 （459）
第 7 章 分圆方程（第 335～366 条） / 469
第 1 节 讨论把圆分成质数份的简单情况 （471）
第 2 节 关于圆弧 （472）
第 3 节 方程 xn-1＝0 的根的理论（假定 n 是质数）  （476）
第 4 节 以下讨论的目的之声明（478）
第 5 节 Ω 中所有的根可以分为某些类（周期）（480）
第 6 节 关于这些周期的各种定理 （482）
第 7 节 由前面的讨论解方程 X＝0  （494）
第 8 节 以 n＝19 为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程  （497）
第 9 节 以 n＝17 为例，运算可以简化为求解四个二次方程（501）
第 10 节 关于根的周期的进一步讨论——有偶数个项的和是实数  （506）
第 11 节 关于根的周期的进一步讨论——把 Ω 中的根分成两个周期的方程  （507）
第 12 节 证明第 4 章中提到的一个定理 （510）
第 13 节 把 Ω 中的根分成三个周期的方程 （512）
第 14 节 把求 Ω 中根的方程化为简方程 （517）
第 15 节 以上研究在三角函数中的应用  （522）
第 16 节 以上研究在三角函数中的应用（524）
第 17 节 以上研究在三角函数中的应用 （527）
第 18 节 以上研究在三角函数中的应用（532）
附注 （535）
附表 （537）