工程数学：复变函数、矢量分析与场论、数学物理方法

　　本书包含复变函数、矢量分析与场论、数学物理方法三部分。复变函数部分的基本内容有： 复数与复变函数的基本概念、复变函数的导数与积分、解析函数的性质和应用、复变函数的幂级数表示方法、留数定理及其应用等。矢量分析与场论部分介绍矢量函数及其导数与积分、梯度、散度和拉普拉斯算符在正交曲线坐标系中的表达式，以及算子方程等。数学物理方法部分的基本内容包括： 波动方程、热传导方程、稳定场位势方程的导出、定解问题的提法； 分离变量法求解定解问题的过程和步骤； 二阶线性常微分方程的幂级数解法和斯图姆刘维尔本征值问题； 贝塞尔函数和勒让德函数的定义、性质与应用； 求解定解问题的行波法、积分变换法和格林函数法等。 本书可以作为理科非数学专业和工科各专业本科生的教材或教学参考书。

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第1篇复变函数

第1章复变函数及其导数与积分

1.1引言

1.2复数与复变函数

1.2.1复数

1.2.2复平面

1.2.3复数加法的几何表示

1.2.4复平面上的点集

1.2.5复变函数

1.3复变函数的极限与连续

1.4复球面与无穷远点

1.5解析函数

1.5.1复变函数的导数与微分

1.5.2解析函数的概念及其简单性质

1.5.3柯西黎曼条件

1.6复变函数的积分

1.6.1复变函数积分的概念与计算

1.6.2复变函数积分的简单性质

1.6.3柯西积分定理及其推广

1.6.4柯西积分公式及其推论

习题1

第2章复变函数的幂级数

2.1复数序列和复数项级数

2.1.1复数序列及其收敛性

2.1.2复数项级数及其收敛性

2.1.3复数项级数的绝对收敛性

2.2复变函数项级数和复变函数序列

2.3幂级数

2.4幂级数和函数的解析性

2.5解析函数的泰勒展开式

2.6解析函数零点的孤立性及唯一性定理

2.7解析函数的洛朗级数展开式

2.7.1洛朗级数

2.7.2解析函数的洛朗展开式

2.7.3洛朗级数与泰勒级数的关系

2.7.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式

2.8解析函数的孤立奇点及其分类



2.8.1可去奇点

2.8.2极点

2.8.3本性奇点

2.8.4复变函数在无穷远点的性态

习题2

第3章留数及其应用

3.1留数与留数定理

3.2留数的计算

3.2.1一级极点的情形

3.2.2高级极点的情形

3.3无穷远点处的留数

3.4留数在定积分计算中的应用

3.4.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的积分

3.4.2形如∫+∞-∞R(x)dx的积分

3.4.3形如∫+∞-∞P(x)Q(x)eimxdx的积分

3.5复变函数在物理中的应用简介

3.5.1解析函数的物理解释

3.5.2两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系泊松积分公式

习题3

第2篇矢量分析与场论

第4章矢量分析与场论初步

4.1矢量函数及其导数与积分

4.1.1场与矢量函数

4.1.2矢量函数的极限与连续性

4.1.3矢量函数的导数

4.1.4矢量函数的积分

4.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式

4.2.1直角坐标系下“三度”及哈密顿算子

4.2.2正交曲线坐标系下的“三度”

4.3正交曲线坐标系下的拉普拉斯算符、格林第一公式和格林第二公式

4.4算子方程

习题4

第3篇数学物理方法

第5章数学物理方程及其定解条件

5.1数学物理基本方程的建立

5.1.1波动方程

5.1.2热传导方程和扩散方程

5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程

5.1.4亥姆霍兹方程

5.2定解条件

5．2．1初始条件

5.2.2边界条件

5.3定解问题的提法

5.4二阶线性偏微分方程的分类与化简解的叠加原理

5.4.1含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简

5.4.2线性偏微分方程的叠加原理

习题5

第6章分离变量法

6.1(1+1)维齐次方程的分离变量法

6.1.1有界弦的自由振动

6.1.2有限长杆上的热传导

6.2二维拉普拉斯方程的定解问题

6.3非齐次方程的解法

6.4非齐次边界条件的处理

习题6

第7章二阶常微分方程的级数解法本征值问题

7.1二阶常微分方程的级数解法

7.1.1常点邻域内的级数解法

7.1.2勒让德方程的级数解

7.1.3正则奇点和非正则奇点附近的级数解

7.1.4贝塞尔方程的级数解

7.2施图姆刘维尔本征值问题

7.2.1施图姆刘维尔方程

7.2.2本征值问题的一般提法

7.2.3本征值问题的一般性质

习题7

第8章贝塞尔函数及其应用

8.1贝塞尔方程的引入

8.2贝塞尔函数的性质

8.2.1贝塞尔函数的基本形态及本征值问题

8.2.2贝塞尔函数的递推公式

8.2.3贝塞尔函数的正交性和模方

8.2.4按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开

8.3贝塞尔函数在定解问题中的应用

*8.4修正贝塞尔函数

8.4.1第一类修正贝塞尔函数

8.4.2第二类修正贝塞尔函数

*8.5可化为贝塞尔方程的方程

8.5.1开尔文方程

8.5.2其他例子

8.5.3含贝塞尔函数的积分

习题8

第9章勒让德多项式及其应用

9.1勒让德方程与勒让德多项式的引入

9.2勒让德多项式的性质

9.2.1勒让德多项式的微分表示

9.2.2勒让德多项式的积分表示

9.2.3勒让德多项式的母函数

9.2.4勒让德多项式的递推公式

9.2.5勒让德多项式的正交归一性

9.2.6按Pn(x)的广义傅里叶级数展开

9.2.7一个重要公式

9.3勒让德多项式的应用

*9.4关联勒让德多项式

9.4.1关联勒让德函数的微分表示

9.4.2关联勒让德函数的积分表示

9.4.3关联勒让德函数的正交性与模方

9.4.4按Pml(x)的广义级数展开

9.4.5关联勒让德函数的递推公式

*9.5其他特殊函数方程简介

9.5.1埃尔米特多项式

9.5.2拉盖尔多项式

习题9

第10章行波法与积分变换法

10.1一维波动方程的达朗贝尔公式

10.2三维波动方程的泊松公式

10.2.1三维波动方程的球对称解

10.2.2三维波动方程的泊松公式

10.2.3泊松公式的物理意义

10.3傅里叶积分变换法求解定解问题

10.3.1预备知识——傅里叶变换及性质

10.3.2傅里叶变换法

10.4拉普拉斯变换法求解定解问题

10.4.1拉普拉斯变换及其性质

10.4.2拉普拉斯变换法

习题10

第11章格林函数法

11.1引言

11.2δ函数的定义与性质

11.2.1δ函数的定义

11.2.2广义函数的导数

11.2.3δ函数的傅里叶变换

11.2.4高维δ函数

11.3泊松方程的边值问题

11.3.1格林公式

11.3.2解的积分形式——格林函数法

11.3.3格林函数关于源点和场点是对称的

11.4格林函数的一般求法

11.4.1无界区域的格林函数

11.4.2用本征函数展开法求边值问题的格林函数

11.5用电像法求某些特殊区域的狄利克雷格林函数

11.5.1泊松方程的狄利克雷格林函数及其物理意义

11.5.2用电像法求格林函数

习题11

附录A常微分方程简介

附录BΓ函数的定义和基本性质

附录C通过计算留数求拉普拉斯变换的反演

附录D傅里叶变换和拉普拉斯变换简表