微积分导引（上）

　　目前《微积分/数学分析》课程的教材已经很多，但基本上都是为数学专业编写的，因而理论的完整性、证明的严格性强调的比较充分；为理工科非数学类专业编写的《微积分》教材则往往更多侧重在计算方面。实际上，对于不少非数学专业的优秀理工科学生而言，微积分计算技能的培养和严谨的数学思维的训练常常是都需要的；另一方面，即便对于数学专业的同学，在展示完整优美的数学理论体系的同时，往往也需要一些如何思考、把握相关内容的来源、基本（粗糙一些）的思路的引导。随着新一代学生在中学教育阶段严谨的逻辑训练的减弱（例如，平面几何的训练比上世纪学生有明显的减退），以及对于学习完整演绎方式构建微积分体系的动力减弱，需要以一种更为直观、生动的方式传授给学生微积分的内在动机、目标和各部分的关系。这样才能吸引他们投入精力到严谨的思维训练过程和计算训练过程。也正是在这样的基础上，我们才能更好地让学生懂得怎样把微积分与后续的专业课程联系起来，从而懂得严谨的逻辑基础上发展出来的科学、以及这样的科学基础上创造的技术。　本教材意在坚持严谨性的同时更多注重引导学生的兴趣，以及抓住核心问题的思路、方法和语言。结合“概念清”和“算得快”这两个基本教学目标，培养学生的兴趣、能力和严谨的思维。　本教材的对象主要是理工科学生中更偏“理”的群体，属于A类数学，但又不同于数学专业，并建议配以更加严谨完整的数学类微积分教材作为参考书（如北大出版社张筑生的《数学分析新讲》）；本书反过来也可用作数学专业学生的参考书。

　　唐少强，现任北京大学应用物理与技术研究中心副主任、高能量密度物理数值模拟教育部重点实验室主任。长期讲授本科生、研究生课程《微积分》 等，2003年和2009年两度被评为北京大学“十佳教师”，2013年入选北京市优秀教师。从事应用数学和计算力学方面的研究，2006年入选教育部新世纪优秀人才培养计划。

第一章实数与直线
1.1 实数的定义与直线
1.2 大小比较与确界原理
1.3 实数的四则运算
1.4 无穷之比较
1.5 不等式
习题
第二章序列与函数的极限
2.1 有界序列、无穷小序列、收敛序列￠
2.2 收敛原理
2.3 无穷大量
2.4 函数的极限
2.5 涉及无穷的函数极限
习题
第三章连续函数
3.1 函数的连续性
3.2 闭区间上连续函数的性质
3.3 单调函数与反函数
3.4 指数函数与对数函数
3.5 无穷大(小) 量的阶
3.6 几个重要极限
习题
第四章导数
4.1 导数与微分
4.2 导数的运算法则
4.3 高阶导数
4.4 函数的极值
4.5 柯西中值定理和洛必达法则
4.6 泰勒公式
4.7 导数的其他应用
习题
第五章不定积分
5.1 概念
5.2 换元积分法
5.3 分部积分法
5.4 有理函数的积分
5.5 可有理化的被积表示式
习题
第六章定积分
6.1 定积分的定义
6.2 牛顿-莱布尼茨公式
6.3 定积分的应用——微元法
6.4 泰勒公式再讨论
习题