工程数学：线性代数与概率统计

　　《工程数学——线性代数与概率统计》是在高等教育大众化和办学层次多样化的新形势下，结合工科学生工程数学教学的基本要求，在独立学院多年教学经验的基础上编写而成的. 《工程数学——线性代数与概率统计》系统地介绍了工程数学的基本理论，内容包括：线性代数、概率论、数理统计等. 本书保持了对数学基础课程的较高要求，同时力争适应工科学生的应用性特点，在内容和结构的处理上尽量削枝强干、分散难点，力求结构完整、逻辑清晰、通俗易懂，并附有大量的例题和习题. 《工程数学——线性代数与概率统计》适合高等院校工科各专业本科学生使用，也可供教师、工程技术人员参考.

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目 录

第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.1.1 全排列与逆序数 1
1.1.2 二阶行列式、三阶行列式 1
1.1.3 n阶行列式的定义 3
1.2 行列式的性质 5
1.3 行列式按行(列)展开 8
1.3.1 行列式元素的余子式和代数余
子式 8
1.3.2 行列式按某一行(列)展开
定理 9
1.3.3 异乘变零定理 11
1.4 克莱姆法则 11
习题1 12
第2章 矩阵 14
2.1 矩阵的概念 14
2.1.1 矩阵的定义 14
2.1.2 几种特殊矩阵 15
2.2 矩阵的运算 16
2.2.1 矩阵的加法 16
2.2.2 矩阵的数乘 17
2.2.3 矩阵的乘法 18
2.2.4 线性方程组的矩阵表示 19
2.2.5 矩阵的转置 20
2.2.6 方阵的行列式 21
2.2.7 方阵的幂 22
2.3 逆矩阵 23
2.3.1 逆矩阵的概念 23
2.3.2 矩阵可逆的判定 23
2.3.3 逆矩阵的性质 26
2.3.4 矩阵方程 26
2.4 矩阵分块 27
2.4.1 分块矩阵的概念 27
2.4.2 分块矩阵的运算 28
2.4.3 分块对角矩阵 30
2.5 矩阵的初等变换 32
2.5.1 线性方程组的消元解法 32
2.5.2 矩阵的初等变换 34
2.5.3 初等矩阵 35
2.5.4 利用初等变换求逆矩阵 38
2.6 矩阵的秩 40
第3章 向量组的线性相关性 45
3.1 向量组及其线性组合 45
3.1.1 维向量及其线性运算 45
3.1.2 向量组的概念 46
3.1.3 向量组的线性组合 47
3.2 向量组的线性相关性 49
3.2.1 线性相关与线性无关的概念 49
3.2.2 线性相关与线性无关的判定
方法 49
3.3 向量组的秩 52
3.3.1 最大线性无关组及向量组
的秩. 52
3.3.2 矩阵的秩与向量组秩的关系 53
3.4 向量空间 55
3.4.1 向量空间 55
3.4.2 基、维数与坐标 56
3.4.3 基与基之间的过渡矩阵及坐标
变换 57
习题2 58
第4章 线性方程组的解 61
4.1 线性方程组的解的条件 61
4.1.1 线性方程组解的情况 63
4.1.2 线性方程组解的存在性 67
4.1.3 线性方程组解的个数 68
习题3 72
4.2 线性方程组解的结构 75
4.2.1 齐次线性方程组解的结构 76
4.2.2 齐次线性方程组的基础解系 76
4.2.3 非齐次线性方程组的解的
结构 79
习题4 82
第5章 相似矩阵及二次型 84
5.1 向量的内积、长度及正交性 84
5.2 方阵的特征值与特征向量 88
5.3 矩阵的相似与对角化 90
5.4 二次型 94
5.4.1 二次型的概念与表示 94
5.4.2 化二次型为标准形 98
5.4.3 二次型的分类与判定 99
习题5 101
第6章 概率论的基本概念 104
6.1 随机事件的关系与运算 104
6.1.1 随机试验 104
6.1.2 随机事件 105
6.1.3 样本空间 105
6.1.4 事件之间的关系 106
6.1.5 事件之间的运算 107
6.2 随机事件的概率 108
6.2.1 概率的统计学定义 108
6.2.2 概率的古典定义 110
6.2.3 概率的几何定义 111
6.2.4 概率的基本性质 112
6.3 条件概率 112
6.3.1 条件概率的定义 112
6.3.2 概率的乘法定理 113
6.3.3 全概率公式 114
6.3.4 贝叶斯公式 115
6.4 随机事件的独立性 116
习题6 118
第7章 随机变量及其分布 121
7.1 随机变量及其分布函数 121
7.1.1 随机变量的概念 121
7.1.2 随机变量的分布函数 122
7.2 离散型随机变量 124
7.2.1 离散型随机变量及其概率
分布 124
7.2.2 离散型随机变量的分布
函数 124
7.2.3 几种重要的离散型随机变量的
概率分布 126
7.3 连续型随机变量 127
7.3.1 连续型随机变量的分布
函数 128
7.3.2 连续型随机变量的概率
密度 128
7.3.3 常用的连续型随机变量的概率
分布 130
7.4 随机变量函数的分布 135
7.4.1 离散型随机变量的函数的
分布 135
7.4.2 连续型随机变量的函数的
分布 136
7.5 多维随机变量及其分布 139
7.5.1 二维随机变量 139
7.5.2 二维随机变量的分布函数 140
7.5.3 二维离散型随机变量的联合
概率分布 141
7.5.4 二维连续型随机变量的联合
概率密度 142
7.6 边缘分布与随机变量的独立性 144
7.6.1 边缘分布 144
7.6.2 随机变量的独立性 145
7.7 二维随机变量函数的分布 147
7.7.1 和的分布 148
7.7.2 最大值与最小值的分布 151
习题7 153
第8章 随机变量的数字特征 156
8.1 数学期望 156
8.1.1 离散型随机变量的数学
期望 156
8.1.2 连续型随机变量的数学
期望 157
8.1.3 二维随机变量的数学期望 159
8.1.4 随机变量函数的数学期望 160
8.1.5 数学期望的性质 161
8.2 方差 163
8.2.1 方差的概念 163
8.2.2 方差的性质 165
8.3 矩、协方差与相关系数 166
8.3.1 矩 167
8.3.2 协方差与相关系数 167
8.3.3 协方差和相关系数的性质 168
习题8 169
第9章 大数定律和中心极限定理 172
9.1 大数定律 172
9.1.1 切比雪夫不等式 172
9.1.2 切比雪夫大数定律 173
9.1.3 伯努利大数定律 174
9.2 中心极限定理 174
习题9 176
第10章 数理统计的基本概念 178
10.1 数理统计的基本概念及常用分布 178
10.1.1 总体 178
10.1.2 样本 179
10.1.3 统计量 180
10.1.4 常用分布 181
10.1.5 分位点 183
10.2 正态总体统计量的分布 185
10.2.1 单个正态总体的统计量的
分布 185
10.2.2 两个正态总体的统计量的
分布 189
习题10 192
第11章 参数估计 194
11.1 点估计 194
11.1.1 矩估计法 195
11.1.2 极大似然估计 196
11.1.3 估计量的评选标准 200
11.2 正态总体参数的区间估计 201
11.2.1 区间估计的概念 201
11.2.2 单个正态总体参数的区间
估计 202
11.2.3 两个正态总体参数的区间
估计 205
11.2.4 单侧置信限 207
习题11 208
第12章 假设检验 211
12.1 假设检验的基本概念 211
12.2 正态总体参数的假设检验 213
12.2.1 单个正态总体均值的假设
检验 213
12.2.2 单个正态总体方差的假设
检验 215
12.2.3 两个正态总体的假设检验 217
习题12 221
第13章 线性回归分析 222
13.1 回归分析的基本概念 222
13.2 一元线性回归 223
13.2.1 一元线性回归的数学模型 223
13.2.2 的最小二乘估计与经验
公式 223
13.2.3 最小二乘估计的基本
性质 224
13.2.4 建立回归方程后进一步的统计
分析 225
13.2.5 一元非线性回归 230
习题13 232
附表 233
参考文献 244