数学物理方法（第二版）

　　本书为西安电子科技大学出版的《数学物理方程》（编者：张民等）的第二版，共分八章，一章为数学物理方程的定解问题，学习三类典型数理方程导出的基本理论和定解问题的确定方法；第二章为行波法，学习一维波动问题的达朗贝尔公式、三维波动方程的泊松公式和冲量原理的相关知识和数理方程求解的技巧；第三章为分离变量法，主要讨论斯特姆－刘维本征值问题的求解、直角坐标系和正交曲线坐标系下的双齐次问题的分离变量法、非齐次泛定方程的本征函数展开法和非齐次边界条件定解问题的边界条件齐次化原理；配合第三章，在第四章中重点研究特殊函数（勒让德函数和贝塞尔函数）的性质与应用，进一步学习正交曲线坐标系下的分离变量法；第五章为积分变换法，学习傅立叶变换和拉普拉斯变换在数学物理方程中的应用；第六章为格林函数法，主要讨论格林函数的基本概念和镜像法等求解格林函数在数学物理方程中的应用；在第七章中，将学习数学物理方程中的其他常用解法，包括延拓法、保角变换法、积分方程法、渐近解法和变分法，这些方法都是求解数学物理方程的一些常用方法。在第八章中，结合物理、电子工程、通信和材料科学类专业的特点，针对数学物理方程和特殊函数在电磁场等问题中的应用提出多个算例，包括平面波的球面波、柱面波展开，球体电磁散射的Mie理论解等实际问题，利用计算编程，求解问题并给出解的可视化图形，这些可视化的结果清楚显示了实际的物理特性，书中给出了相关计算程序。

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第1章 数学物理方程的定解问题 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 偏微分方程的基本概念 1
1.1.2 三类常见的数学物理方程 2
1.1.3 数学物理方程的一般性问题 2
1.2 数学物理方程的导出 3
1.2.1 波动方程的导出 4
1.2.2 输运方程的导出 10
1.2.3 稳定场方程的导出 15
1.3 定解条件与定解问题 17
1.3.1 初始条件 17
1.3.2 边界条件 19
1.3.3 三类定解问题 23
1.4 本章小结 23
习题 24
第2章 行波法 27
2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 27
2.1.1 达朗贝尔公式的导出 27
2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义 29
2.1.3 依赖区间和影响区域 31
2.2 半无限长弦的自由振动 32
2.3 三维波动方程的泊松公式 35
2.3.1 平均值法 36
2.3.2 泊松公式 36
2.3.3 泊松公式的物理意义 39
2.4 强迫振动 41
2.4.1 冲量原理 41
2.4.2 纯强迫振动 43
2.4.3 一般强迫振动 44
2.5 三维无界空间的一般波动问题 46
2.6 本章小结 48
习题 49
第3章 分离变量法 53
3.1 双齐次问题 53
3.1.1 有界弦的自由振动 53
3.1.2 均匀细杆的热传导问题 57
3.1.3 稳定场分布问题 60
3.2 本征值问题 63
3.2.1 斯特姆-刘维型方程 63
3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题 64
3.2.3 斯特姆-刘维型方程本征值问题的性质 67
3.3 非齐次方程的处理 72
3.3.1 本征函数展开法 72
3.3.2 冲量原理法 76
3.4 非齐次边界条件的处理 77
3.4.1 边界条件的齐次化原理 77
3.4.2 其他非齐次边界条件的处理 79
3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法 82
3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 82
3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念 84
3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法 87
3.6 本章小结 90
习题 92
第4章 特殊函数 95
4.1 二阶线性常微分方程的级数解 95
4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 95
4.1.2 方程常点邻域内的级数解 95
4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解 99
4.2 勒让德多项式 103
4.2.1 勒让德多项式 104
4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示 107
4.3 勒让德多项式的性质 108
4.3.1 勒让德函数的母函数 108
4.3.2 勒让德多项式的递推公式 110
4.3.3 勒让德多项式的正交归一性 111
4.3.4 广义傅里叶级数展开 113
4.4 勒让德多项式在解数学物理方程中的应用 114
4.5 连带勒让德函数 116
4.5.1 连带勒让德函数本征值问题 117
4.5.2 连带勒让德函数的性质 119
4.5.3 连带勒让德函数在解数学物理方程中的应用 121
4.6 球函数 122
4.6.1 一般的球函数定义 122
4.6.2 球函数的正交归一性 122
4.6.3 球函数的应用 123
4.7 贝塞尔函数 125
4.7.1 三类贝塞尔函数（贝塞尔方程的解） 125
4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题 128
4.8 贝塞尔函数的性质 129
4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示 129
4.8.2 贝塞尔函数的递推关系 130
4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性 132
4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开 133
4.9 其他柱函数 136
4.9.1 球贝塞尔函数 136
4.9.2 虚宗量贝塞尔函数 139
4.10 贝塞尔函数的应用 141
4.11 本章小结 146
习题 149
第5章 积分变换法 154
5.1 傅里叶变换 154
5.1.1 傅里叶积分 154
5.1.2 傅里叶变换 155
5.1.3 傅里叶变换的物理意义 157
5.1.4 傅里叶变换的性质 157
5.1.5 δ函数的傅里叶变换 162
5.1.6 n维傅里叶变换 162
5.2 傅里叶变换法 162
5.2.1 波动问题 162
5.2.2 输运问题 164
5.2.3 稳定场问题 165
5.3 拉普拉斯变换 167
5.3.1 拉普拉斯变换 167
5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理 167
5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质 171
5.4 拉普拉斯变换的应用 174
5.4.1 用拉普拉斯变换解常微分方程 174
5.4.2 用拉普拉斯变换解偏微分方程 176
5.5 本章小结 182
习题 184
第6章 格林函数法 188
6.1 δ函数 189
6.1.1 δ函数的定义 189
6.1.2 δ函数的性质 189
6.1.3 δ函数的应用 193
6.2 泊松方程边值问题的格林函数法 194
6.2.1 格林函数的一般概念 194
6.2.2 泊松方程的基本积分公式 195
6.3 格林函数的一般求法 201
6.3.1 无界空间的格林函数 201
6.3.2 一般边值问题的格林函数 203
6.3.3 电像法 204
6.3.4 电像法和格林函数的应用 212
6.4 格林函数的其他求法 214
6.4.1 用本征函数展开法求解边值问题的格林函数 214
6.4.2 用冲量法求解含时间的格林函数 216
6.5 本章小结 219
习题 222
第7章 数学物理方程的其他解法 224
7.1 延拓法 224
7.1.1 半无界杆的热传导问题 224
7.1.2 有界弦的自由振动 225
7.2 保角变换法 226
7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义 226
7.2.2 拉普拉斯方程的解 229
7.3 积分方程的迭代解法 231
7.3.1 积分方程的几种分类 231
7.3.2 迭代解法 232
7.4 变分法 234
7.4.1 泛函和泛函的极值 234
7.4.2 里兹方法 237
7.5 本章小结240
第8章 数学物理方程的可视化计算 241
8.1 分离变量法的可视化计算 241
8.1.1 矩形区泊松方程的求解 241
8.1.2 直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用 243
8.2 特殊函数的应用 247
8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加 247
8.2.2 平面波展开为球面波的叠加 251
8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用 255
8.2.4 球体雷达散射截面的解析解 259
8.3 积分变换法的可视化计算 274
8.4 格林函数的可视化计算 276
8.5 本章小结279
参考文献 280