高等数学（阎章杭）

　　简介全书分一元函数微积分学、多元函数微积分基础、常微分方程基础、无穷级数基础四篇，共九章.其内容涵盖了高职高专院校各相关专业所必需的数学知识以及如何利用这些知识解决实际问题的方法.另外，本书还以数学实验的形式，增加了利用数学软件解决实际计算的内容，以供有条件的院校选学.本教材突破传统教材体系，精选内容，主次分明，删减枝节，注重使用，讲究实效.本教材可根据高职高专不同专业、不同的学生类别选学不同的内容，供选学的面宽.所选的例题和习题均以帮助学生理解概念、掌握方法为目的，删除单纯性技巧和难度较大的习题，增加富有启发性、应用性、为专业服务的题目.本书为立体化教材，在出版该教材同时，还编写并出版了与该教材配套的辅助教材《高等数学与工程数学习题课指导》，内容包括每章小结，常见问题分类及解法，习题答案及典型习题解答，自我测验等.另外，还出版了与该教材配套的电子教案，免费赠送教师使用，同时还建有专门的网站，为师生提供网上服务.本书可作为三年制或两年制高职高专院校、成人高校和本科院校开办的二级院校工程及经济类相关专业的数学教材，同时对各专业技术人员也有较高的参考价值.目录目录第一篇一元函数微积分学第一章函数、极限与连续2第一节函数2一、函数的概念2二、函数的几种特性4三、复合函数6四、反函数7五、初等函数7六、建立函数关系举例10七、经济类函数举例11第二节数列及其极限16一、数列的极限16二、数列极限的四则运算17三、无穷递缩等比数列的求和公式18四、数列极限的性质19第三节函数的极限20一、当x→∞时，函数f（x）的极限20二、当x→x0时，函数f（x）的极限21三、左极限与右极限22四、函数极限的性质23第四节无穷小与无穷大24一、无穷小与无穷大的定义及其关系24二、无穷小的性质26第五节极限的运算法则27第六节两个重要的极限31一、极限limx→0sinxx=131二、极限limx→∞11xx=e32第七节无穷小的比较33第八节函数的连续性与间断性36一、函数连续性的概念36二、函数的间断点38第九节初等函数的连续性41一、初等函数的连续性41二、闭区间上连续函数的性质43第十节数学实验一Mathematica入门和求一元函数的极限45一、Mathematica入门45二、一元函数图形的绘制48三、求一元函数的极限49第二章导数与微分55第一节导数的概念55一、变化率问题举例55二、导数的定义56三、求导举例57四、导数的几何意义58五、函数的可导性与连续性的关系59第二节函数的和、差、积、商的求导法则61第三节复合函数的求导法则63第四节初等函数的求导法64一、反函数的导数64二、初等函数求导问题66三、分段函数的导数66第五节隐函数及参数方程所确定函数的求导法67一、隐函数的导数67二、幂指函数y＝uv的导数（u＞0）68三、由参数方程所确定函数的求导法68第六节高阶导数69第七节函数的微分71一、微分的概念71二、微分的运算73三、近似计算74第八节数学实验二用Mathematica求一元函数的导数76一、学习Mathematica命令76二、导数概念76三、求一元函数的导数76第三章导数应用79第一节拉格朗日中值定理与函数单调性判定法79一、拉格朗日中值定理79二、函数单调性的判定性80第二节函数的极值及判定82第三节函数的最大值和最小值85第四节曲线的凸凹性与拐点88第五节函数图形的描绘90第六节洛必达法则93第七节导数在经济问题中的应用96一、边际分析96二、弹性分析98第四章一元函数积分学104第一节不定积分的概念与性质104一、原函数104二、不定积分104三、不定积分的几何意义105四、基本的积分公式106五、积分的基本运算法则106第二节不定积分法108一、第一类换元积分法108二、第二类换元积分法111三、分部积分法113第三节定积分的概念与性质116一、两个实例116二、定积分的定义117三、定积分的几何意义118四、定积分的性质120第四节牛顿莱布尼兹公式122一、积分上限函数122二、牛顿莱布尼兹公式124第五节定积分的换元法与分部积分法126一、定积分的换元法126二、定积分的分部积分法128第六节广义积分130第七节数学实验三用Mathematica计算积分131一、学习Mathematica命令131二、求不定积分132三、求定积分及广义积分132第五章定积分的应用134第一节定积分的微元法134第二节定积分在几何中的应用135一、平面图形的面积135二、旋转体的体积138三、求平面曲线弧长139第三节定积分在物理中的应用141一、变力做功142二、液体压力143三、引力144第四节定积分在经济问题中的简单应用145一、由边际函数求总函数146二、资本现值与投资问题147第二篇多元函数微积分学基础第六章多元函数微分学基础150第一节空间解析几何简介150一、空间直角坐标系150二、曲面及其方程152三、空间曲线及其方程154第二节向量的概念及向量的运算156一、向量的概念156二、向量的加法与减法157三、数与向量的乘法157四、向量的坐标表示法158五、向量的数量积160六、向量的向量积162第三节空间的平面、直线及常见二次曲面164一、平面方程及两平面间的夹角165二、空间直线的方程及其夹角167三、常用二次曲面及其方程169第四节多元函数的概念175一、二元函数的定义175二、二元函数的几何意义177三、二元函数的极限和连续性177第五节偏导数与全微分179一、偏导数的定义及求法179二、高阶偏导数181三、全微分181第六节复合函数与隐函数微分法184一、复合函数的求导法则184二、全微分形式不变性186三、隐函数的求导法187第七节多元函数的极值188一、多元函数的极值188二、条件极值190第七章多元函数积分学基础194第一节二重积分的概念与性质194一、两个实例194二、二重积分的定义195三、二重积分的性质196第二节二重积分的计算198一、在直角坐标系下计算二重积分199二、在极坐标系下计算二重积分202第三节二重积分的应用205一、体积205二、平面薄片的质量206三、平面薄片的重心207第四节三重积分209一、三重积分的概念209二、三重积分的计算方法210第五节曲线积分216一、对弧长的曲线积分216二、对坐标的曲线积分219三、格林公式223四、平面上的曲线积分与路径无关的条件225第六节数学实验四用Mathematica求偏导和计算二重积分228一、学习Mathematica命令228二、偏导数计算228三、计算二重积分229第三篇常微分方程基础第八章常微分方程232第一节常微分方程的基本概念232第二节一阶微分方程235一、可分离变量的微分方程235二、齐次微分方程237三、形如dydx＝f（axbyc）的微分方程238四、一阶线性微分方程238五、贝努利方程239第三节高阶微分方程的几个特殊类型241一、dnydxn=f（x）型的微分方程241二、y″＝f（x，y′）型的微分方程241三、y″＝f（y，y′）型微分方程242第四节二阶线性微分方程243一、解的结构243二、常系数二阶线性微分方程的解法245第四篇无穷级数基础第九章无穷级数254第一节数项级数的概念及其基本性质254一、数项级数的概念254二、数项级数的基本性质256第二节数项级数的敛散性257一、正项级数及其审敛法257二、任意项级数的敛散性259第三节幂级数261一、函数项级数的概念261二、幂级数及其收敛性261三、幂级数的运算性质263第四节函数的幂级数展开264一、泰勒级数264二、把函数展开成幂级数266三、函数幂级数展开式的应用268第五节傅里叶级数269一、三角级数和三角函数系的正交性269二、周期为2π的函数的傅里叶级数270三、正弦级数和余弦级数272第六节周期为2l的函数展开成傅里叶级数273一、周期为2l的函数的傅里叶级数273二、傅里叶级数的复数形式274参考文献277

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目录第一篇一元函数微积分学第一章函数、极限与连续2第一节函数2一、函数的概念2二、函数的几种特性4三、复合函数6四、反函数7五、初等函数7六、建立函数关系举例10七、经济类函数举例11第二节数列及其极限16一、数列的极限16二、数列极限的四则运算17三、无穷递缩等比数列的求和公式18四、数列极限的性质19第三节函数的极限20一、当x→∞时，函数f(x)的极限20二、当x→x0时，函数f(x)的极限21三、左极限与右极限22四、函数极限的性质23第四节无穷小与无穷大24一、无穷小与无穷大的定义及其关系24二、无穷小的性质26第五节极限的运算法则27第六节两个重要的极限31一、极限limx→0sinxx=131二、极限limx→∞1+1xx=e32第七节无穷小的比较33第八节函数的连续性与间断性36一、函数连续性的概念36二、函数的间断点38第九节初等函数的连续性41一、初等函数的连续性41二、闭区间上连续函数的性质43第十节数学实验一Mathematica入门和求一元函数的极限45一、Mathematica入门45二、一元函数图形的绘制48三、求一元函数的极限49第二章导数与微分55第一节导数的概念55一、变化率问题举例55二、导数的定义56三、求导举例57四、导数的几何意义58五、函数的可导性与连续性的关系59第二节函数的和、差、积、商的求导法则61第三节复合函数的求导法则63第四节初等函数的求导法64一、反函数的导数64二、初等函数求导问题66三、分段函数的导数66第五节隐函数及参数方程所确定函数的求导法67一、隐函数的导数67二、幂指函数y＝uv的导数(u＞0)68三、由参数方程所确定函数的求导法68第六节高阶导数69第七节函数的微分71一、微分的概念71二、微分的运算73三、近似计算74第八节数学实验二用Mathematica求一元函数的导数76一、学习Mathematica命令76二、导数概念76三、求一元函数的导数76第三章导数应用79第一节拉格朗日中值定理与函数单调性判定法79一、拉格朗日中值定理79二、函数单调性的判定性80第二节函数的极值及判定82第三节函数的最大值和最小值85第四节曲线的凸凹性与拐点88第五节函数图形的描绘90第六节洛必达法则93第七节导数在经济问题中的应用96一、边际分析96二、弹性分析98第四章一元函数积分学104第一节不定积分的概念与性质104一、原函数104二、不定积分104三、不定积分的几何意义105四、基本的积分公式106五、积分的基本运算法则106第二节不定积分法108一、第一类换元积分法108二、第二类换元积分法111三、分部积分法113第三节定积分的概念与性质116一、两个实例116二、定积分的定义117三、定积分的几何意义118四、定积分的性质120第四节牛顿莱布尼兹公式122一、积分上限函数122二、牛顿莱布尼兹公式124第五节定积分的换元法与分部积分法126一、定积分的换元法126二、定积分的分部积分法128第六节广义积分130第七节数学实验三用Mathematica计算积分131一、学习Mathematica命令131二、求不定积分132三、求定积分及广义积分132第五章定积分的应用134第一节定积分的微元法134第二节定积分在几何中的应用135一、平面图形的面积135二、旋转体的体积138三、求平面曲线弧长139第三节定积分在物理中的应用141一、变力做功142二、液体压力143三、引力144第四节定积分在经济问题中的简单应用145一、由边际函数求总函数146二、资本现值与投资问题147第二篇多元函数微积分学基础第六章多元函数微分学基础150第一节空间解析几何简介150一、空间直角坐标系150二、曲面及其方程152三、空间曲线及其方程154第二节向量的概念及向量的运算156一、向量的概念156二、向量的加法与减法157三、数与向量的乘法157四、向量的坐标表示法158五、向量的数量积160六、向量的向量积162第三节空间的平面、直线及常见二次曲面164一、平面方程及两平面间的夹角165二、空间直线的方程及其夹角167三、常用二次曲面及其方程169第四节多元函数的概念175一、二元函数的定义175二、二元函数的几何意义177三、二元函数的极限和连续性177第五节偏导数与全微分179一、偏导数的定义及求法179二、高阶偏导数181三、全微分181第六节复合函数与隐函数微分法184一、复合函数的求导法则184二、全微分形式不变性186三、隐函数的求导法187第七节多元函数的极值188一、多元函数的极值188二、条件极值190第七章多元函数积分学基础194第一节二重积分的概念与性质194一、两个实例194二、二重积分的定义195三、二重积分的性质196第二节二重积分的计算198一、在直角坐标系下计算二重积分199二、在极坐标系下计算二重积分202第三节二重积分的应用205一、体积205二、平面薄片的质量206三、平面薄片的重心207第四节三重积分209一、三重积分的概念209二、三重积分的计算方法210第五节曲线积分216一、对弧长的曲线积分216二、对坐标的曲线积分219三、格林公式223四、平面上的曲线积分与路径无关的条件225第六节数学实验四用Mathematica求偏导和计算二重积分228一、学习Mathematica命令228二、偏导数计算228三、计算二重积分229第三篇常微分方程基础第八章常微分方程232第一节常微分方程的基本概念232第二节一阶微分方程235一、可分离变量的微分方程235二、齐次微分方程237三、形如dydx＝f(ax+by+c)的微分方程238四、一阶线性微分方程238五、贝努利方程239第三节高阶微分方程的几个特殊类型241一、dnydxn=f(x)型的微分方程241二、y″＝f(x,y′)型的微分方程241三、y″＝f(y,y′)型微分方程242第四节二阶线性微分方程243一、解的结构243二、常系数二阶线性微分方程的解法245第四篇无穷级数基础第九章无穷级数254第一节数项级数的概念及其基本性质254一、数项级数的概念254二、数项级数的基本性质256第二节数项级数的敛散性257一、正项级数及其审敛法257二、任意项级数的敛散性259第三节幂级数261一、函数项级数的概念261二、幂级数及其收敛性261三、幂级数的运算性质263第四节函数的幂级数展开264一、泰勒级数264二、把函数展开成幂级数266三、函数幂级数展开式的应用268第五节傅里叶级数269一、三角级数和三角函数系的正交性269二、周期为2π的函数的傅里叶级数270三、正弦级数和余弦级数272第六节周期为2l的函数展开成傅里叶级数273一、周期为2l的函数的傅里叶级数273二、傅里叶级数的复数形式274参考文献277