数学物理方程及其近似方法

　　本书系统论述了数学物理方程及其近似方法，主要内容包括：数学物理方程的基本问题、本征值问题和分离变数法的基本原理、Green函数方法、变分近似方法、积分方程基本理论、微扰理论、数学物理方程的逆问题和非线性数学物理方程。本书是为理工科高年级本科生和研究生编写的，电可作为本科生数学物理方程课程的参考书。

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第一章数学物理方程的基本问题
1.1数学物理方程的分类及一般性问题
1.1.1基本概念：古典解和广义解
1.1.2两个自变量二阶线性方程的分类和化简
1.1.3多个自变量线性方程的分类和标准型
1.1.4数学物理方程的一般性问题
1.2波动方程与Cauchy问题的适定性
1.2.1波动方程的Cauchy问题
1.2.2非齐次波动方程和推迟势
1.2.3能量不等式和Cauchy问题的适定性
1.2.4混合问题解的惟一性和稳定性
1.3Laplace方程与Helmholtz方程
1.3.1二个自变量的Laplace方程
1.3.2调和函数的基本性质
1.3.3边值问题的适定性
1.3.4Helmholtz方程与辐射问题
1.4热传导方程与定解问题的适定性
1.4.1热传导方程的Cauchy问题
1.4.2一维热传导方程的混合问题
1.4.3混合问题的适定性
1.4.4三类典型方程定解问题提法比较
习题一
第二章本征值问题和分离变数法
2.1Hilbert空间及完备的正交函数集
2.1.1Hilbert空间和函数空间L2[a,b)
2.1.2完备的正交归一函数集
2.1.3有限区间上的完备系：Legendre多项式
2.1.4单位球面上的完备系：球谐函数
2.2本征值问题和Sturm-Liouville系统
2.2.1Hermite算子及本征值问题
2.2.2Sturm-liouville系统
2.2.3Sturm-Liouville多项式系统
2.2.4Hermite多项式与Laguerre多项式
2.3有界区域内定解问题的分离变数法
2.2.1波动方程的齐次混合问题
2.3.2热传导方程的齐次混合问题
2.3.3椭圆方程的边值问题
2.3.4非齐次问题的本征函数展开
2.4正交曲线坐标系小本征值问题的分离变数
2.4.1球坐标系中的本征方程
2.4.2柱坐标系中的本征方程
2.4.3椭圆-双曲柱坐标
2.4.4柱函数：Bessel函数的几种不同形式
2.5无穷区域混合问题的分离变数法
2.5.1波动方程的Cauchy问题
2.5.2Laplace方程的边值问题
2.5.3二维轴对称波动力方程
2.14应用于平板的光热激发
习题二
第三章Creen函数方法
3.1广义函数及函数
3.1.1广义函数概念和运算法则
3.1.2广义函数的导数
3.1.3广义函数的Fourier变换
3.1.4弱收敛和广义解
3.2二阶常微分方程的Green函数
3.2.1Gauchy问题的Green函数
3.2.2边值问题的Green函数
3.2.3非齐次Sturm-Liouville边值问题
3.2.4广义Green函数
3.3高维边值问题的Green函数
3.3.1非齐次问题的积分公式
2.3.1Helmholtz方程的Green函数
3.3.3无界空间的Green函数和基本解
3.3.4镜像法求边值问题的Green函数
3.4混合问题的含时Green函数
3.4.1热导方程的Green函数
3.4.2波动方程的Green函数
3.4.3Cauchy问题的基本解
3.4.4混合问题Green函数的镜像法
3.5广义Green公式及非齐次问题的积分解
3.5.1共轭算子及广义Green公式
3.5.2椭圆型方程的Green函数
3.5.3抛物型方程的Green函数
3.5.4双曲型方程的Green函数
习题三
第四章变分近似方法
4.1变分法的基本问题
4.1.1泛函和泛函极值的基本概念
4.1.2多个变量的变分问题
4.1.3变端点问题和自然边界条件
4.1.4泛函的条件极值问题
4.1.5Hamilton原理与最小位能原理
4.2变分法在本征值问题中的应用
4.2.1Hermite算子本征值问题与泛函极值问题的等价
4.2.2完备性定理的证明
4.2.3极值定理
4.2.4Ritz和Galerkin法解本征值问题
4.3变分法在边值问题中的应用
4.3.1边值问题与泛函极值问题的等价
4.3.2变分解的存在性与广义解
4.3.3Ritz法解边值问题
4.3.4Galerkin法及非齐次边值问题
4.4变分的其他近似方法
4.4.1Kantorovich法
4.4.2最速下降法与有界正定算子
4.4.3最小平方法及Courant法
4.4.4共轭梯度法
习题四
第五章积分方程基本理论
5.1积分方程的形成及分类
5.1.1Volterra积分方程的形成
5.1.2Fredholm积分方程的形成
5.1.3Abel方程及第一类积分方程的适定性
5.1.4非线性积分方程的形成
5.2积分方程的迭代法和有限秩近似
5.2.I第二类Fredholm方程的迭代法
5.2.2Banach空间第二类Fredholm方程的迭代技术
5.2.3可分核方程和有限秩核近似
5.2.4非线性积分方程的迭代法
5.3L2[a,b)空间中的积分方程
5.3.1Hermite对称的平方可积核
5.3.2第二类Fredholm积分方程及微扰论
5.3.3平方可积Hermite对称核的极值性质
5.3.4本征值问题的有限秩近似
5.3.5一般平方可积核
5.4积分变换及应用于解积分方程
5.4.1Fourier变换及逆变换
5.4.2Laplace变换及逆变换
5.4.3Hankel变换及逆变换
5.4.4Hilbert变换及逆变换
习题五
第六章微扰理论
6.1本征值问题的微扰
6.1.1算子本身的微扰
6.I.2简并态的微扰
6.1.3边界条件的微扰
6.1.4区域微扰
6.2正则微扰
6.2.1一致有效展开
6.2.2非一致有效展开和参数变形法
6.2.3参数变形法应用于非线性振动和波动
6.2.4多尺度展开法
6.3奇异微扰及边界层理论
6.3.1边界层理论的基本思想
6.3.2二阶线性方程的边值问题
6.3.3非线性微扰引起的边界层
6.3.4高维边值问题的边界层
6.4WKB近似和应用
6.4.1WKB近似
6.4.2Liouville-Green变换
6.4.3具有转折点的本征值问题
6.4.4WKB近似的应用
习题六
第七章数学物理方程的逆问题
7.1逆问题基本概念和分类
7.1.1逆问题基本概念
7.1.2方程逆问题分类
7.1.3不适定问题的正则化方法
7.1.4第一类Fredholm积分方程的正则化方法
7.2脉冲谱技术(PST)
7.2.1PST的基本原理
7.2.2光热测量中热导系数的反演
7.2.3应用于二维波动方程的逆问题
7.2.4应用于环境污染控制的逆源问题
7.3本征值逆问题
7.3.1本征值的渐近特征
7.3.2本征值逆问题的惟一性
7.3.3热导方程系数逆问题的惟一性
7.3.4数值方法
7.4波动方程的逆散射
7.4.1波的散射和远场特性
7.4.2边界反演的Kirchhoff近似
7.4.3非均匀介质反演的Born和Rytov近似
7.4.4二维近场逆散射成像理论
习题七
第八章非线性数学物理方程
8.1典型非线性方程及其行波解
8.1.1Burgers方程及冲击波
8.1.2KdV方程及孤立波
8.1.3非线性Nein-Gordon方程
8.1.4非线性Schrodinger方程
8.2Hopf-Cole变换和Hirota方法
8.2.1Burgers方程的Hopf-Cole变换
8.2.2KdV方程的广义Hopf-Cole变换
8.2.3KdV-Burgers方程的广义Hopf-Cole变换
8.2.4Hirota方法
8.3逆散射方法
8.3.1一维Schrodinger方程的逆散射问题
8.3.2解KdV方程初值问题的基本思想
8.3.3KdV方程初值问题的孤立子解
8.3.4Lax理论
8.4Backlund变换
8.4.1Backlund变换的基本思想
8.4.2Sine-Gordon方程的自Backlund变换
8.4.3KdV方程的自Backlund变换
8.4.4非线性叠加公式
习题八
人名英汉对照表
参考书目