数理金融初步（原书第2版）

　　本书清晰简洁地阐述了数理金融学的基本问题，主要包括套利、Black-Scholes期权定价公式以及效用函数、最优资产组合原理、资产本资产定价模型等知识，并将书中所讨论的问题的经济背景、解决这些问题的数学方法和基本思想系统地展示给读者。本书内容选择得当、结构安排合理，既适合作为高等院校学生（包括财经类专业及应用数学专业）的教材，同时也适合从事金融工作的人员阅读。本书前言期权（合约）给其持有者按指定条款买进或卖出某种证券的权利（但不是义务）。买入期权（calloption）给予买入权利，而卖出期权（putoption）给的是卖出权利。这两种期权都规定有执行价格和到期日。此外，对期权的履行规定了两种标准的条件：欧式期权仅在到期日能行使权利，而美式期权行使权利的时间则可为到期日及此前任何时刻。例如，若买进一个执行价为K，到期日为t的期权，如果此期权是欧式的，那么其持有者有权在时刻t以价格K购买一股标的证券；而若是美式期权，持有者则有权在t及此前任何时刻进行这种购买。对一个完善高效的期权市场，应该有一种有效的计算方法来（至少是近似地）估计各种期权的价值。对买入期权（不管美式或欧式类型），使用著名的Black-Scholes公式可达到这一目的。该公式假定标的证券价格服从一个几何布朗运动。就是说，如果该证券在时刻y的价格是S（y），未来任意指定时刻t＋y的价格与y时价格之比独立于到y时刻为止的任何历史价格，并且它具有均值和方差分别为与的对数正态分布。即：是均值为，方差为的正态随机变量。Black和Scholes证明了：当价格服从几何布朗运动假设时，对买入期权而言，存在这样一个唯一的价格：它不允许理想化的交易者凭借某种交易策略在任何情况下都确保获利。这里理想化交易者是指那些能够不花费任何交易成本而连续不断进行交易的人。也就是说，当且仅当期权价格由Black-Scholes公式给出时，不存在确定性的赢利（无套利）机会。此外，该价格仅依赖于几何布朗运动的波动参数（还有当前利率，标的证券价格和期权的执行条件），而与参数无关。由于参数度量了该证券的波动性，故常将其称为波动参数。风险中性投资者是指这样一种类型的投资者，他们使用投资回报的期望现值来估计该项投资的价值。如果这类投资者用一个几何布朗运动来模拟某种证券的价格随时间的演化，从而将涉及该证券的买和卖变成一种公平赌博，那么这些投资者对于此证券买入期权的估价恰好由Black-Scholes公式给出。由于此原因，Black-Scholes的期权价值也常称为风险中性价值。本书的首要目的是导出并解释Black-Scholes公式。然而其推导需要用到某些概率论知识。前3章致力于这些知识的叙述。第1章引入概率和概率试验，此外讨论了随机变量以及它们的期望值和方差的概念。这里的随机变量是指这样一个量，它的取值由某个概率试验的结果决定。第2章引入正态随机变量，这类随机变量的概率分布由一条铃形曲线决定。该章还叙述了中心极限定理，该定理是概率论中最重要的理论结果，它告诉我们：大量随机变量的和近似地为一个正态随机变量。在第3章中我们引进几何布朗运动，给出了其定义，证明了如何从一些更简单过程的极限获得它，还讨论了用它描述证券价格的合理性。讲述了必要的概率准备之后，在从第4章开始的第二部分中，我们引入了利率和现值的概念。支撑Black-Scholes公式的一个关键概念是套利，第5章专门讨论它。在此章中我们说明在包括单时期二项模型在内的各种情况下，如何使用套利进行定价。第6章讨论套利定理，并在多时期二项模型下，使用它导出期权唯一无套利价格的表达式。在第7章，我们使用第6章的结果以及第4章中提出的几何布朗运动的近似方法，给出了买入期权的Black-Scholes定价方程的一种简化推导；此外还讨论了期权价格作为其参数的函数所具有的性质，以及关于delta对冲复制策略的性质。有关期权的其他性质放在第8章讨论，那里我们推导出当标的证券支付红利时相应期权的价格公式；给出了利用多时期二项模型来确定美式卖出期权风险中性近似价格的方法；还讨论了当证券价格模型为一个布朗运动加上某个随机跳跃过程时，相应期权无套利价格的决定问题；此外还给出了关于波动率参数的几个不同估计量。第9章指出：在许多情况下，仅仅考虑套利性并不能唯一地确定期权的价格。此时起重要作用的，是投资者的效用函数以及他们对各种投资可能结果概率的估计。本章还引入了均值方差分析，风险价值和条件风险价值，以及资本资产定价模型等概念。我们将证明，即使证券价格服从几何布朗运动且买入期权按照Black-Scholes公式定价，仍然可能存在下述投资机会：该投资的期望利润为正且标准偏差相对较小（如果投资者关于几何布朗运动参数的估计值与能将所有投资变成公平赌博的值不同时，就会出现这种机会）。第10章研究金融中某些优化问题。第11章引入了像障碍期权，亚洲期权和回望期权等非标准期权或称奇异期权。我们将说明如何使用蒙特卡洛模拟以及方差减小技术来有效地确定这些期权的几何布朗运动风险中性价值。即便人们对标的证券几何布朗运动模型的正确性存在疑问，Black-Scholes公式仍是很有用的。因为只要我们承认该模型至少是近似有效的，使用该模型就可以给人这样一种观念：期权具有某个适当的价格。因此，如果期权的实际交易价格低于此公式价格，期权相对证券本身来说就是价格低估了，这就会导致人们考虑卖出证券而买入期权（若期权交易价在公式价格之上，则会出现相反的现象）。在第12章中将指出：几何布朗运动并不总是能够拟合实际数据。因而需要考虑更一般的模型。在商品价格情形，许多交易商执著地相信存在着平均价格回归现象：某些商品的市场价总是倾向于回复到某个固定的价格。第13章提出一个较几何布朗运动更一般的模型，它可用于模拟这类商品的价格流。本版的新内容：在延续了第一版的基本格调和框架的同时，第二版增加了以下内容：·给出了Black-Scholes方程的一个新颖而简洁的推导（7.4节）。·提出了delta对冲期权复制技术（7.4节）。·给出了Black-Scholes期权价格函数偏导数（称为希腊字母）的推导（7.5节），这些推导此前未曾出现过，且较文献中的其他推导方法简单。·对证券的三种不同红利支付方式，分别推导出了当证券分红时欧式买入期权的无套利价格（8.2节）·给出了波动率参数的一种新估计方法。该方法容易实现，而且相对当前使用的其他方法而言，能产生一个更好的波动参数估计量（8.5.4节）。·增加了有关缺乏价格演化模型时无套利定价的材料，还有关于期权价格作为执行价的凸函数性质的讨论，以及期权组合性质的讨论（5.2节）。·增加了下述情形下买入期权无套利价格的一个新的简单的推导：标的证券的价格演化过程是一个几何布郎运动加上一个随机跳跃。我们得出一个确切的计算公式（假定跳跃有对数正态分布），并获得了它的上下界和近似公式（一般情形，8.4节）。·第10章完全是新的，本章还提出了一些金融优化方法。·关于风险价值和条件风险价值一节是新的（9.4节）。·增加了一些新的例子和练习。

　　Sheldon M.Ross是加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系教授，他于1968年在斯坦福大学获得统计学博士学位，之后一直在加州大学伯克利分校任教.他发表了大量有关概率与统计方面的学术论文，并出版了多种教材，被各学校广泛采用.他还创办了《Probability in the Engineering and Informational Sciences》杂志并一直担任主编. 他是数理统计学会会员，荣获过美国科学家Humboldt奖.

译者序
前 言
第1章 概率论
1. 1 概率和事件
1. 2 条件概率
1. 3 随机变量及其期望值
1. 4 协方差和相关性
1. 5 习题
第2章 正态随机变量
2. 1 连续型随机变量
2. 2 正态随机变量
2. 3 正态随机变量的性质
2. 4 中心极限定理
2. 5 习题
第3章 几何布朗运动
3. 1 几何布朗运动
3. 2 作为更简单模型极限的几何布朗运动
3. 3 布朗运动
3. 4 习题
第4章 利率和现值分析
4. 1 利率
4. 2 现值分析
4. 3 回报率
4. 4 连续变化利率
4. 5 习题
第5章 合约的套利定价
5. 1 期权定价的一个例子
5. 2 通过套利定价的其他例子
5. 3 习题
第6章 套利定理
6. 1 套利定理
6. 2 多时期二项模型
6. 3 套利定理的证明
6. 4 习题
第7章 Black-Scholes公式
7. 1 引言
7. 2 B1ack-Scholes公式
7. 3 Black-Scholes期权定价公式的一些性质
7. 4 delta对冲套利策略
7. 5 一些推导过程
7. 5. 1 Black-Scholes公式
7. 5. 2 偏导数
7. 6 习题
第8章 关于期权的其他结果
8. 1 引言
8. 2 分红证券的买入期权
8. 2. 1 证券每股红利以证券价格的固定比率f连续支付
8. 2. 2 每股证券在时刻td单次分红fS td
8. 2. 3 每股证券在时刻td以固定数量D分红
8. 3 美式卖出期权的定价
8. 4 在几何布朗运动中加入跳跃
8. 4. 1 对数正态跳跃分布
8. 4. 2 一般跳跃分布
8. 5 估计波动参数
8. 5. 1 估计总体的均值和方差
8. 5. 2 波动率的标准估计量
8. 5. 3 使用开盘数据和收盘数据
8. 5. 4 使用开盘数据. 收盘数据和最高最低数据
8. 6 一些评论
8. 6. 1 期权实际价格异于Black-Scholes价格时
8. 6. 2 利率发生变化时
8. 6. 3 最后的评论
8. 7 附录
8. 8 习题
第9章 期望效用估值法
9. 1 套利定价的局限性
9. 2 利用期望效用估计投资价值
9. 3 投资组合的选择问题
9. 4 风险价值和条件风险价值
9. 5 资本资产定价模型
9. 6 买入期权风险中性定价的均方差分析
9. 7 回报率：单时期和几何布朗运动
9. 8 习题
第10章 最优化模型
10. 1 引言
10. 2 确定性最优化模型
10. 2. 1 基于动态规划的一般解法
10. 2. 2 凹回报函数的解法
10. 2. 3 背包问题
10. 3 概率最优化模型
10. 3. 1 具有不确定获胜概率的赌博模型
10. 3. 2 投资分配模型
10. 4 习题
第11章 奇异期权
11. 1 引言
11. 2 障碍期权
11. 3 亚式期权和回望期权
11. 4 蒙特卡罗模拟
11. 5 奇异期权的模拟定价
11. 6 更有效的模拟估计式
11. 6. 1 亚式期权和回望期权价值模拟中的控制变量和对偶变量
11. 6. 2 障碍期权价值模拟中的条件期望和重要性抽样的结合
11. 7 非线性支付期权
11. 8 通过多时期二项模型近似定价
11. 9 习题
第12章 非几何布朗运动模型
12. 1 引言
12. 2 原油数据
12. 3 原油数据模型
12. 4 最后的评论
第13章 自回归模型和均值回复
13. 1 自回归模型
13. 2 用期望收益估计期权价值
13. 3 均值回复
13. 4 习题
索引