现代应用数学手册（现代应用分析卷）

　　现代分析数学不仅在数学领域内占有非常重要的地位，而且在各自然科学和工程、技术科学中的应用越来越广泛。本卷论述了现代分析数学各分支中的基本概念、术语、符号、性质和方法。在编写上，注重背景，强调应用，突出常用的基本知识。现代分析数学大多内容比较抽象，为使读者易于理解，书中适当地列举了一些例子。本书适合高等院校各理、工专业的教师、本科生和研究生，以及广大科技工作者使用。

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符号表
1集合与映射
1.1集合及集合的运算
1.1.1集合的概念
1.1.2并集与交集
1.1.3差集与余集
1.1.4积集与投影
1.2映射
1.2.1映射与逆映射
1.2.2映射的图象
1.2.3映射的延拓与限制
1.2.4映射的复合
1.2.5集合的特征函数
1.3集合的基数
1.3.1对等与基数
1.3.2可列集
1.3.3连续点集的基数
1.4顺序关系及等价关系
1.4.1偏序与全序
1.4.2佐恩引理
1.4.3等价关系及商集
1.5实(数)直线上的点集
1.5.1一些基本概念与性质
1.5.2邻域.开集和闭集
1.5.3实(数)直线的完备性
1.5.4有界闭集的列紧性与紧性
参考文献

2实变函数论
2.1引言
2.1.1实变函数论的产生
2.1.2建立勒贝格积分的方法
2.2测度论
2.2.1有界集合的内测度与外测度
2.2.2测度的性质
2.3可测函数
2.4勒贝格积分
2.4.1积分的定义与基本性质
2.4.2积分收敛定理
2.4.3富比尼定理
2.5有界变差函数与黎曼-斯蒂尔切斯积分
2.5.1单调函数与有界变差函数
2.5.2黎曼-斯蒂尔切斯积分
2.6绝对连续函数与微分
2.7空间Lp
2.8勒贝格积分的其它定义方法
2.8.1里斯方法
2.8.2基于完备化思想定义勒贝格积分的方法
2.9抽象测度
2.9.1环上的测度
2.9.2测度的扩张
2.9.3可测函数与积分
2.9.4勒贝格-斯蒂尔切斯积分

3空间结构与抽象空间
3.1集合与空间
3.1.1空间结构
3.1.2欧几里得空间
3.1.3酉空间
3.2线性运算线性空间
3.2.1线性运算
3.2.2线性空间
3.2.3线性子空间
3.2.4线性相关与线性无关
3.2.5维数与基
3.3距离度量空间
3.3.1距离
3.3.2度量空间
3.3.3开集与闭集
3.3.4聚点与闭包
3.3.5极限与收敛
3.3.6连续映射
3.3.7柯西序列与完备度量空间
3.3.8列紧性与紧性
3.3.9压缩映射与不动点定理
3.4范数赋范线性空间
3.4.1范数和半范数
3.4.2赋范线性空间
3.4.3强收敛
3.4.4巴拿赫空间
3.4.5连续函数空间
3.5内积内积空间
3.5.1内积
3.5.2内积空间
3.5.3希尔伯特空间
3.5.4正交与投影
3.5.5正交集
3.6拓扑拓扑空间
3.6.1拓扑
3.6.2拓扑空间
3.6.3拓扑空间的基本概念与性质
参考文献

4线性泛函分析
4.1引言
4.2线性拓扑空间
4.2.1基本概念
4.2.2局部凸空间
4.2.3弗雷歇空间
4.3有界线性算子
4.3.1定义与基本性质
4.3.2有界线性算子空间
4.3.3算子乘法与逆算子
4.4连续线性泛函
4.4.1基本概念与性质
4.4.2连续线性泛函的一般形式
4.4.3凸集分离定理
4.5有界线性算子的基本定理
4.6共轭空间与共轭算子
4.6.1弱收敛与弱收敛
4.6.2自反巴拿赫空间
4.6.3共轭算子
4.6.4无界算子的伴随算子
4.7各类算子
4.7.1酉算子与正规算子
4.7.2自伴算子
4.7.3投影算子
4.7.4全连续线性算子
4.7.5弗雷德霍姆算子
4.7.6希尔伯特-施密特算子
4.7.7拉克斯-米尔格拉姆定理
4.8线性算子的谱
4.8.1谱的概念与基本性质
4.8.2自伴算子的谱
4.8.3全连续算子的谱
4.9算子半群
4.9.1一致连续半群与强连续半群
4.9.2压缩半群与耗散算子
4.10巴拿赫代数
4.10.1概念与例
4.10.2预解集与谱
4.10.3理想与同态
4.10.4交换巴拿赫代数
参考文献

5广义函数
5.1引言
5.2检验函数
5.3广义函数
5.3.1定义及例
5.3.2分布的代数运算
5.3.3分布的支集
5.3.4分布序列的收敛
5.4分布导数
5.5一些重要的分布
5.6分布的直积与卷积
5.6.1分布的直积
5.6.2分布的卷积
5.6.3卷积的应用
5.7缓增分布与傅里叶变换
5.7.1速降检验函数
5.7.2缓增分布
5.7.3速降函数的傅里叶变换
5.7.4缓增分布的傅里叶变换
5.7.5直积与卷积的傅里叶变换
5.7.6某些应用
5.8分布的拉普拉斯变换
5.8.1经典函数的拉普拉斯变换
5.8.2分布的拉普拉斯变换
5.8.3变换公式
参考文献

6变分法与变分原理
6.1变分法的问题
6.1.1古典变分学问题
6.1.2变分法的内容与意义
6.2欧拉方程
6.3变分问题的直接法
6.3.1欧拉有限差分法
6.3.2里茨法
6.3.3康托罗维奇法
6.4数学物理中的变分原理
6.4.1二次函数的极值
6.4.2能量法
6.4.3虚功原理
6.4.4广义解
6.5里茨-伽辽金方法
6.5.1变分原理常用的近似解法
6.5.2里茨法的应用及伽辽金法
6.5.3里茨-伽辽金法的收敛性
6.5.4里茨法在特征值计算中的应用
参考文献

7数学模型
7.1数学模型概述
7.1.1建模的目的和步骤
7.1.2模型的分类
7.1.3系统辨识
7.2建立数学模型的方法
7.2.1初等分析
7.2.2初等概率
7.2.3量纲分析
7.2.4极值分析
7.2.5微分方程
7.2.6马尔可夫链分析
7.2.7冲量过程
7.2.8层次分析
7.3数学模型的应用
7.3.1人口
7.3.2经济
7.3.3社会
7.3.4交通
7.3.5医学
7.3.6生产
7.3.7生态
7.3.8体育

8不等式
8.1引言
8.1.1不等式的意义
8.1.2常用不等式的类型
8.1.3几个特点
8.2几个基本不等式
8.2.1杨不等式
8.2.2关于积分的平均值不等式
8.2.3关于积分的赫尔德不等式
8.2.4关于积分的闵可夫斯基不等式
8.3与凸函数单调函数有关的不等式
8.3.1凸函数.单调函数与不等式
8.3.2有关凸(凹)函数的一些不等式
8.3.3斯梯芬森不等式
8.4有关变分法的一些不等式
8.4.1变分法与不等式
8.4.2包含一阶导数的一类不等式
8.4.3温廷杰不等式
8.4.4包含二阶导数的一类不等式
8.4.5其它不等式
8.5与矩阵有关的一些不等式
8.5.1正定矩阵的一些不等式
8.5.2有关特征值的一些不等式
8.5.3正矩阵的几个不等式
8.6与微分算子有关的一些不等式
8.6.1一阶线性常微分算子
8.6.2二阶及高阶线性常微分算子
8.6.3广义凸性
8.6.4二阶线性偏微分算子
8.6.5几个定理
8.6.6联系函数及其导数的不等式
8.6.7离散情形
8.7其它不等式
8.7.1从多线性型到积分的类似情形
8.7.2希尔伯特不等式及其推广和应用
8.7.3哈代不等式及其类似情形
8.7.408.7.5重新排列
参考文献

9特殊函数
9.1引言
9.2r函数B函数
9.2.1r函数的定义
9.2.2r函数的性质
9.2.3B函数
9.3超几何函数
9.3.1超几何级数和超几何函数
9.3.2广义超几何函数
9.3.3合流超几何函数
9.4贝塞尔函数
9.4.1第一类贝塞尔函数的基本概念
9.4.2整数阶和半奇数阶的第一类贝塞尔函数
9.4.3第二类和第三类贝塞尔函数
9.4.4变型的贝塞尔函数
9.4.5几个图形
9.4.6渐近展开式和零点
9.4.?傅里叶-贝塞尔展开
9.4.8应用举例
9.5正交多项式
9.5.1正交多项式的基本概念
9.5.2正交多项式的基本性质
9.5.3雅可比多项式
9.5.4切比雪夫多项式
9.6勒让德多项式及有关的函数
9.6.1勒让德多项式的定义
9.6.2勒让德多项式的基本性质
9.6.3第二类勒让德函数
9.6.4伴随勒让德函数
9,6.5球面函数
9.6.6应用举例
9.7埃尔米特多项式
9.8拉盖尔多项式
9.8.1广义拉盖尔多项式
9.8.2拉盖尔多项式
参考文献

10积分变换
10.1引言
10.2积分变换
10.2.1定义
10.2.2若干重要的积分变换
10.3傅里叶变换
10.3.1傅里叶变换及其反演公式
10.3.2傅里叶变换的性质
10.3.3傅里叶变换及其反演公式存在的条件
lo.3.4傅里叶余弦变换与傅里叶正弦变换
10.3.5傅里叶变换表
10.4拉普拉斯变换
10.4.1引言
10.4.2拉普拉斯变换及其反演公式
10.4.3拉普拉斯变换的性质
10.4.4拉普拉斯变换及其反演公式存在的条件
10.4.5拉普拉斯变换的主要公式表
10.4.6拉普拉斯变换表
10.5梅林变换
10.5.1梅林变换及其反演公式
10.5.2梅林变换的性质
10.5.3梅林变换与傅里叶变换的关系
10.5.4梅林变换的重要公式表
10.5.5梅林变换表
10.6汉开尔变换
10.6.1汉开尔变换及其反演公式
10.6.2汉开尔变换表
10.6.3汉开尔变换的推广
10.7斯蒂尔切斯变换及其反演公式
10.8魏尔斯特拉斯变换
10.8.1魏尔斯特拉斯变换及其反演公式
10.8.2魏尔斯特拉斯变换表
10.9勒让德变换及其反演公式
10.10希尔伯特变换及其反演公式
10.11一般积分变换及其反演公式
10.11.1康托洛维奇-列别捷夫变换
10.11.2梅涅尔-福克斯变换
10.11.3列别捷夫变换
10.11.4外姆普变换
参考文献

11摄动方法
11.1基本概念
11.1.1引言
11.1.2阶符
11.1.3渐近展开
11.1.4无量纲化
11.2正则摄动法
11.3变形坐标法
11.3.1变形参数法
11.3.2变形坐标法
11.3.3重正化方法
11.4匹配法
11.4.1匹配法
11.4.2合成法
11.5多重尺度法
11.5.1多变量法(导数展开法)
11.5.2双变量展开法
11.5.3推广的多重尺度法
参考文献

附录
特殊函数表
中文-外文索引
外文-中文索引
外国人名表