计算机数值方法

　　本书是普通高等教育“九五”国家级重点教材，也是面向21世纪理工科数学课程教材。全书主要介绍计算机上求解各种数值问题的常用基本数值方法及其算法设计，包括解线性方程组的直接法，函数近似计算的插值法与最小二乘法，数值积分与微分、常微分方程的数值解法，解线性方程组和非线性方程的迭代法，以及矩阵特征问题的幂法等。教材内容与计算机的使用密切结合。本书可作为高等院校理工科非数学专业“计算方法”课程的教材，也可供从事科学计算的科技工作者参考。

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第一章 引论
§1 计算机数值方法的研究对象与特点
§2 数值问题与数值方法
2-1 数值方法
2-2 数值算法
2-3 算法设计及其表达法
§3 误差
3-1 误差的基本概念
3-2 浮点基本运算的误差
3-3 数值方法的稳定性与算法设计原则
习题一
第二章 解线性方程组的直接法
§1 直接法与三角形方程组求解
1-1 直接法概述
1-2 三角形线性方程组的解法
§2 Gauss消去法
2-1 消元与回代计算
2-2 Gauss消去法的运算量
§3 Gauss列主元素消去法
3-1 主元素的作用
3-2 消元过程与系数矩阵的分解
3-3 算法设计
§4 直接三角分解法
4-1 基本的三角分解法
4-2 部分选主元的Doolittle分解
4-3 算法设计
§5 平方根法
5-1 对称正定矩阵的三角分解
5-2 平方根法的数值稳定性
§6 追赶法
*§7 求逆矩阵的Gauss—Jordan列主元素法
习题二
第三章 插值法与最小二乘法
§1 插值法
1-1 插值问题
1-2 代数插值多项式的存在唯一性
1-3 插值基函数及Lagrange插值
§2 插值多项式中的误差
2-1 插值余项
2-2 高次插值多项式的问题
§3 分段插值法
3-1 分段线性Lagrange插值
3-2 算法设计
3-3 分段二次Lagrange插值
§4 Newton插值
4-1 均差
4-2 Newton插值公式及其余项
4-3 差分
4-4 等距节点的Newton插值公式
4-5 算法设计
§5 Hermite插值
5-1 两点三次Hermite插值
5-2 插值多项式H3(x)的余项
5-3 分段两点三次Hermite插值
§6 三次样条插值
6-1 三次样条函数
6-2 三次样条插值多项式
6-3 算法设计
6-4 三次样条插值函数的收敛性
§7 数据拟合的最小二乘法
7-1 最小二乘法的基本概念
7-2 法方程组
7-3 利用正交多项式作最小二乘拟合
7-4 算法设计
习题三
第四章 数值积分与微分
§1 Newton—Cotes公式
1-1 插值型求积分式及Cotes系数
1-2 低阶Newton—Cotes公式的余项
1-3 Newton—Cotes公式的稳定性
§2 复合求积法
2-1 复合求积公式
2-2 复合求积公式的余项及收敛的阶
2-3 步长的自动选择
2-4 算法设计
§3 Romberg算法
3-1 复合梯形公式的递推化
3-2 外推加速公式
3-3 算法设计
*§4 Gauss求积法
4-1 Gauss点
4-2 基于Hermite插值的Gauss型求积公式
4-3 Gauss型求积公式的数值稳定性
§5 数值微分
5-1 插值型求导公式
5-2 样条求导公式
习题四
第五章 常微分方程数值解法
§1 引言
1-1 基于数值微分的求解公式
1-2 截断误差
1-3 基于数值积分的求解公式
§2 Runge-Kutta法
2-1 Runge-Kutta法
2-2 四阶Runge-Kutta算法
§3 线性多步法
3-1 开型求解公式
3-2 闭型求解公式
3-3 Adams预测一校正系统的算法
*§4 常微分方程数值解法的进一步讨论
4-1 单步法的收敛性与稳定性
4-2 常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法
4-3 边值问题的数值解法
习题五
第六章 逐次逼近法
§1 基本概念
1-1 向量与矩阵的范数
1-2 误差分析介绍
§2 线性方程组的迭代法
2-1 简单迭代法
2-2 迭代法的收敛性
§3 非线性方程的迭代法
3-1 简单迭代法
3-2 Newton迭代法及其变形
3-3 Newton迭代算法
3-4 多根区间上的逐次逼近法
§4 计算矩阵特征问题的幂法
4-1 求代数方程根的方法
4-2 幂法
4-3 反幂法
4-4 反幂算法
§5 迭代法的加速
5-1 基本迭代法的加速(SOR法及其算法)
5-2 Aitken加速
习题六
习题答案
中英文人名对照表
参考书目