应用近世代数

　　内容提要近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是从事现代科学技术人员所必需的数学基础。本书介绍群、环、域的基本理论与应用。适用于数学与应用数学、计算机科学、无线电、物理、化学、生物医学等专业的学生、研究生以及专业人员。片断：历史上，有几个几何作图问题曾经困扰人们很长时间，它们是：（1）二倍立方体问题作一个立方体使其体积为一已知立方体体积的两倍。（2）三等分任意角问题给定任意一个角，将其三等分。（3）圆化方问题给定一个圆（即已知其半径r），作一个正方形使其面积等于已知圆的面积。（4）n等分一个圆周这些问题直到近世代数理论出现以后才得到完全的解决。8.代数方程根式求解问题我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题。19世纪初，法国青年数学家伽罗瓦（Galois）在研究五次代数方程的解法时提出了著名的伽罗瓦理论，成了近世代数的先驱。但他的工作未被当时的数学家所认识，他于21岁就过早地去世了。直到19世纪后期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广泛应用，出现了许多应用于某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。习题1.11.用2种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链，可做成多少种不同的项链？2.对正四面体的顶点用两种颜色着色，有多少种本质上不同的着色法？3.有4个顶点的图共有多少个？其中互不同构的有多少个？4.如何用圆规和直尺5等分一个圆周？5.如何用根式表示3次和4次代数方程的根？1.2集合与映射前已指出，近世代数研究的对象是所谓代数系，它是一个集合，并在其中定义了一种或若干种运算。因此，我们必须对集合的基本理论很熟悉。由于大家从中学开始就对集合与映射有所了解，这里只作一些复习、补充和约定。1.集合的记号集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如：A＝｛1，2，3｝，S＝｛X｜P（x）｝，其中p（x）表示元素x具有的性质。本书中经常用到以下的集合及记号：整数集合Z＝｛0，士1，±2，±3，…｝，正整数集合Z＋＝｛1，2，3，…｝，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。一个集合A的元素个数用｜A｜表示。当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用｜A＝∞表示A是无限集，｜A｜＜∞表示A是有限集。本书前言前言为了满足数学与应用数学以及理工科专业学生和科技人员学习近世代数的需要，本书尽力做到联系实际，多举例子，使读者感到有趣想学。在叙述方法上尽力做到连贯、前后呼应、合乎中文习惯。对部分定理的证明采用提示式、部分论证式等方式给出，留有思考余地，读者若能边学边动手按提示完成证明或计算，会收到满意效果。每节后的习题均附有提示或答案，便于自学。本书出版后受到读者的欢迎，并得到同行的好评和支持，荣获国家教委第三届高校优秀教材二等奖。本次再版时，根据读者和同行的意见与建议做了修改与补充。在此，作者向所有给予本书关心、支持与提供宝贵意见的读者、同行和编辑表示衷心的感谢。

暂缺《应用近世代数》作者简介

第1章引言和预备知识
1.1几类实际问题
1.项链问题
2.分子结构的计数问题
3.正多面体着色问题
4.图的构造与计数问题
5.开关线路的构造与计数问题
6.数字通信的可靠性问题
7.几何作图问题
8.代数方程根式求解问题
习题1.1
1.2集合与映射
1.集合的记号
2.子集与幂集
3.子集的运算
4.包含与排斥原理
5.映射的概念
6.映射的分类
7.映射的复合
8.映射的逆
习题1.2
1.3二元关系
1.集合的笛卡儿积
2.二元关系
3.等价关系和等价类
4.偏序和全序
习题1.3
1.4整数与同余方程
1.整数的运算
2.最大公因子和最小公倍数
3.互素
4.同余方程及孙子定理
习题1.4

第2章群论
2.1基本概念
1.群和半群
2.关于单位元的性质
3.关于逆元的性质
4.群的几个等价性质
习题2.1
2.2子群
1.子群
2.元素的阶
习题2.2
2.3循环群和生成群,群的同构
1.循环群和生成群
2.群的同构
3.循环群的性质
习题2.3
2.4变换群和置换群,凯莱定理
1.置换群
2.凯莱(Cayley)定理
习题2.4
2.5子群的陪集和拉格朗日定理
1.子群的陪集
2.子群的指数和拉格朗日定理
习题2.5
2.6正规子群和商群
1.正规子群的概念
2.正规子群的性质
3.商群
4.单群
习题2.6
2.7共轭元和共轭子群
1.中心和中心化子
2.共轭元和共轭类
3.共轭子群与正规化子
4.置换群的共轭类
习题2.7
2.8群的同态
1.群的同态
2.同态基本定理
3.有关同态的定理
4.自同态与自同构
习题2.8
2.9群对集合的作用,伯恩赛德引理
1.群对集合的作用
2.轨道与稳定子群
3.伯恩赛德(Burnside)引理
习题2.9
2.10应用举例
1.项链问题
2.分子结构的计数问题
3.正多面体着色问题
4.开关线路的计数问题
5.图的计数问题
习题2.10
2.11群的直积和有限可换群
1.群的直积
2.有限可换群的结构
习题2.11
2.12有限群的结构,西罗定理
1.p-子群与Sylowp-子群
2.西罗(Sylow)定理
习题2.12

第3章环论
3.1环的定义和基本性质
1.环的定义
2.环内一些特殊元素和性质
3.环的分类
习题3.1
3.2子环.理想和商环
1.子环
2.生成子环和生成理想
3.商环
习题3.2
3.3环的同构与同态
1.环的同构与同态
2.有关同态的一些定理
3.分式域
习题3.3
3.4整环中的因子分解
1.一些基本概念
2.既约元和素元
3.最大公因子
习题3.4
3.5唯一分解整环
1.唯一分解整环及其性质
2.主理想整环
3.欧氏环
习题3.5
3.6多项式分解问题
1.本原多项式及其性质
2.D[x]的分解性质
3.多项式的可约性判断
习题3.6
3.7应用举例
1.编码问题
2.多项式编码方法及其实现
习题3.7

第4章域论
4.1域和域的扩张,几何作图问题
1.素域和域的特征
2.扩张次数,代数元和超越元
3.代数扩张与有限扩张
4.几何作图问题
习题4.1
4.2分裂域,代数基本定理
1.分裂域
2.代数基本定理
习题4.2
4.3有限域,有限几何
1.有限域的构造及唯一性
2.有限域的元素的性质
3.Zp[x]中多项式的根
4.有限域的子域
5.有限几何
习题4.3
4.4单位根,分圆问题
1.单位根
2.分圆问题
习题4.4

附录I其它代数系简介
1.格与布尔代数
2.模的概念及例
3.代数
习题
附录II习题提示与答案
参考文献
符号索引
名词索引