杜甫诗文中的历法问题

杜甫诗文中的历法问题

杜甫诗文中有一些篇章涉及历法问题，而历法是专门之学，旧时注家未必深通其术，所以解说中难免出现一些误解，或者对某些文句茫然不知其解。这不能不说是一个缺憾。本文仅就习学所得一二，对其中几个问题试加探讨。

大历年间，杜甫在夔州作《雨》诗一首。由于涉及历法问题，作品编年也产生争议：

冥冥甲子雨，已度立春时。轻箑烦相向，纤恐自疑。烟添才有色，风引更如丝。直觉巫山暮，兼催宋玉悲。

宋人赵次公谓：“按《资治通鉴》，大历二年正月辛亥朔，至十三日甲子。但不知立春在前相去几日，以无《长历》考之也。今立春矣，值春甲子而雨，则将有谚语千里之旱，不亦可忧乎？”系此诗于大历二年（767）。黄鹤注谓：“按《旧史》，大历元年正月丁巳朔，则是初八日为甲子。史又云自春旱，至六月庚子始雨，却与唐谚合。公是时在云安。其年十一月甲子日长至，方改为大历元年。若大历二年，甲子在正月十三日，而立春已在元年十二月二十六七，无容谓甲子雨‘已度立春时’也。”黄鹤注的意思是大历二年正月十三日甲子，而立春在此前的十二月二十六七日，自然不可能有自甲子日下雨直至立春的情况，因此改系此诗于大历元年（766）云安作。与赵次公相比，黄鹤当是认真核查了历日，故下此判断。

明代王嗣奭对宋人旧注提出不同意见：“先雨而度立春，是冬甲子雨，而注引春甲子，误。按谚：‘冬雨甲子，雪飞千里。’南方地暖，故不雪而雨。注引‘赤地千里’，是年春旱，又误。”意思是说此甲子日并非是春正月甲子，而是立春前的冬甲子。这样就解释了自甲子雨而至立春的问题。但是他没有说明冬甲子的日期（应在十一月），对此诗系年也没有发表意见。清仇兆鳌注引用了王嗣奭说，系年则从黄鹤注，此外未加任何解释，或许并没有在意此二人说法中可能包含的问题。

以上三人说法中，王嗣奭说最不可取。如果依王说，此甲子日是冬甲子，在立春前，而非在立春后，那么如黄鹤注已查明的，大历二年立春在大历元年十二月二十六七日（实为二十七日戊申。古人以冬至为二十四节气之首，两个冬至之间即是一个回归年），大历元年立春在永泰元年（765）十二月十六日癸卯。据此可以推算出，大历二年前的冬甲子至立春为44天，大历元年前的冬甲子至立春为39天。不论是在夔州还是在其他地方，哪有可能一冬下如此长雨？况且诗里所描写的情景也全非如此。王嗣奭的牵强解释实乖谬于常识。

黄鹤通过核查历书，改动此诗系年，思路似较前人严密，但其说法其实是站不住脚的。因为只要据其思路追究一下就会发现，即使将此诗作年提前到大历元年，立春同样在正月甲子日前，而且更为提前，达21天，而大历二年是16天。因而改动系年不但没有解决问题，反而使问题更难解释。实际上，根据历法常识可以知道，只有将此诗作年后移，甲子日才会出现在立春之前。因为一个回归年（即二十四节气一个循环）为365日，比六十甲子的倍数360日多出5日。只有将此诗作年后移三年以上，甲子日才会跑到立春之前。但这时杜甫不但已离开夔州，甚至已离开人世。黄鹤看来没有料到他的推论如此经不住推敲，这是因为他对历法知识不熟悉，或者查历书没有查到底。

事实上，黄鹤等人对诗意本身理解有误，才导致对系年的不必要改动。诗云“冥冥甲子雨，已度立春时”，是说甲子这天下雨，而这一天已在立春之后，并不是说自甲子日下雨一直下到立春。大历二年正月甲子日在立春之后，这并没有什么特别之处（大历元年、三年、四年也是如此），而恰好这一天下雨，使诗人想到了俗谚所说“春雨甲子，赤地千里”（见《朝野佥载》卷一，赵次公注已引）。在以上注家中，只有赵次公没有误会诗意，其他人都被黄鹤引导到错误方向上去了，这至少说明注家都没有肯再去核实黄鹤提出的历法问题，而其实这是一个很简单的算术问题。

为了显示自己的博学多才，杜甫在一些文章写作中直接安插进了历法内容。天宝年间，杜甫在长安献三大礼赋，其中《朝献太清宫赋》写到：

帝之苗裔，坤之纪纲。土配君服，宫尊臣商。起数得统，特立中央。且大乐在悬，黄钟冠八音之首；太昊斯启，青陆献千春之祥。

清朱鹤龄注此文，引《史记·历书》及《索隐》黄钟为律之首之说，又引《汉书·律历志》“黄钟为天统”之说。仇兆鳌注又引《律历志》“数从统首日起算”及“以闰法乘日法得统法”之说。

在《有事于南郊赋》中杜甫又写到：

盖九五之后，人人自以遭唐虞；四十年来，家家自以为稷卨。王纲近古而不轨，天听贞观以高揭。蠢尔差僭，粲然优劣。宜其课密于空积忽微，刊定于兴废继绝。而后睹数统从首，八音六律而惟新；日起算外，一字千金而不灭。

朱鹤龄注此文“数统从首”引《律历志》“数从统首日起算”之说。此外引《唐书》开元中僧一行造《大衍历》、历成张说等上之事，认为“课密”以下盖指此而言。

以上两段文字安插在三大礼赋中，相互呼应，从中可以看出作者有某种整体布局上的考虑。这两段话的内容则主要是依据《汉书·律历志》所载刘歆《三统历》之说，用音律学和象数《易》学来解释历法。《三统历》“日法八十一”，即分一日为八十一分，“元始黄钟，初九自乘，一龠之数”（《汉书·律历志下》），认为这一数字是以黄钟律管九寸自乘而来。又“统法一千五百三十九，以闰法乘日法，得统法”，即以闰法19（指十九年七置闰）乘日法81，得1539，为一统的年数，也是统术运算中的日分数，在许多运算中被用作分母。这即是所谓的“起数得统”。杜甫引用这一说法，是用来说明唐应土德，其位中央，其音宫，而君亦为宫，律中黄钟，而黄钟则是历法中统法数据的来源。刘歆为历法数据寻找音律的根据，以此来证明天道运行有某种数学规则的神秘性。杜甫则以此来论证唐德所在（实际上，后代历法已不再勉强与黄钟律数配合），并顺带显示了自己在历法和数学方面的修养。

至于“数统从首”、“日起算外”两句，则是讲《三统历》统术中推（天）正月朔的方法。“数从统首日起算外，则朔日也”（《律历志》），即以60（干支一周数）除积日，所馀数（大馀）首日干支与统首日干支同，从此日起算，可求得朔日干支。王先谦《汉书补注》所引钱大昕、董祐诚等人之说，有详明解说，是朱鹤龄、仇兆鳌二人所未及见的。朱、仇二人只能勉强给出《律历志》中“统首”的出处，但又拉杂引了其他一些不相干的说法，说明他们对这些历法术语并不真正理解。

从这两句来看，杜甫对统术的计算方法似乎颇有心得，不然也不会接连使用“统首日”、“算外”这两个相当冷僻的专门术语。果然，好像是有意为了证实这一点，上元二年（761）杜甫在蜀州为县令王潜作《唐兴县客馆记》，文末忽然别出心裁：

自辛丑岁秋分大馀二，小馀二千一百八十八，杜氏之老记已。

结尾这几句话一下难倒了诸位注家。朱注在此下仍引《汉书·律历志》推正月朔法，仇注引黄百家之说：“杜记盖谓秋分后二日之二十馀刻耳。”显然是逞臆之言。杨伦则直言：“末大馀小馀，即观朱释亦未明。”在笔者阅读范围内，尚未见到其他精于历算的学者有馀暇顾及杜甫此文。

此处所言秋分大馀、小馀，是求节气的干支日及时刻。在历法中，要首先推求天正冬至（历代历法冬至均固定在十一月）大馀、小馀，然后依次求其他节气的大馀、小馀。在《三统历》中，统法（日分数）为1539，两个冬至日间的年长为365日，弃去可为60除尽的360整日，馀数为日。以入统以来岁数乘之，所得称积策馀日，大馀即其整数部分（日数）满60除去后之馀数，小馀即不足一日的日分数。将冬至大馀加45（满60仍除去），小馀加1010（满1539除去，同时大馀加1），即次节立春大馀、小馀。依次可推出八节的大馀、小馀。

但《三统历》的统法为1539，故小馀应＜1539。杜甫此文所给出的秋分小馀为2188，显然与此不符。朱鹤龄校“二千”一作“三千”，仇注谓“二千”或作“一千”，都不可据。事实上，此数据并非依据《三统历》，而是另有来历。朱鹤龄曾认为《有事于南郊赋》借汉言唐，所指为一行造《大衍历》事。此文则提供了一个确实的证据，证实了杜甫是依据《大衍历》来进行此次演算。以下就依据新旧《唐书·历志》所载《开元大衍历经》“大衍步中朔第一”部分，对这两个数据加以验算。

《大衍历》称上元以来年数为积算，给出上元至开元十二年（724）积算为96961740算（年）。据此，上元至肃宗上元二年（761）的积算为96961777年。《大衍历》所定通法（日分数，在《三统历》中称统法）为3040分，一回归年所含日分共1110343分，称策实。其算法的文字表述是：

推天正中气，以策实乘入元距所求积算，命曰中积分。盈大衍通法得一，为积日。不盈者为小馀。爻数去积日，不尽日为大馀。数从甲子起算外，即所求年天正中气冬至日及小馀也。

以策实乘积算为中积分，即上元到所求年天正冬至的总日分。在此例中：

96961777×1110343＝107660830359511

以中积分除以通法3040，为积日：

107660830359511÷3040＝35414746828.78651（日）

积日满60（干支一周，《大衍历》称为爻数）即除去，在此例中，积日／60的整数部分为590245780，所以冬至大、小馀为：

35414746828.78651（积日）－590245780×60

＝35414746828.78651－35414746800

＝28.78651

即大馀28，从甲子起算外，冬至为壬辰日。小馀为0.78651×3040＝2390.9904（日分）。

下面求节气大、小馀。其算法的文字表述是：

求次气，因天正中气大小馀，以三元之策及馀、秒加之。其秒盈象统，从小馀。小馀满大衍通法，从大馀。大馀满爻数，去之。命如前，即次气恒日及馀、秒。

三元之策公式是：

三元之策，一十五；馀，六百六十四；秒，七。

即每一个节气所含日数为日。自冬至至秋分共18个节气，以此年冬至小馀加18个节气整日之外的馀数：

2390.99＋664×18＝14348.24

满3040为一日，除去（满大衍通法，从大馀）：

14348－3040×4＝2188

即此年秋分小馀。冬至大馀加18个节气整日数，再加小馀满通法4日：

28＋15×18＋4＝302

满60（爻数）去之：

302－60×5＝2

得大馀2。据此推算出的此年秋分在八月十三日丙寅。

以上据《大衍历》演算结果，与杜甫给出的上元二年辛丑岁秋分大馀、小馀完全相合。当然，步中朔、求干支在历法中都属于相对简单、初步的运算。其他步发敛术、步日躔术、步交会术、步五星术等内容要复杂得多，更不用说一行《大衍历》在历法和中国数学史上有许多创新，是一般人难以掌握的。因此，不能据此文得出杜甫精通历法的结论，但他曾研习此术并掌握一些基本的运算方法，应该是可信的。

值得玩味的是，杜甫为什么在此文中运用这种在一般文章中极少见的记大馀、小馀方式？笔者查《全唐文》，只有张《龙筋凤髓判》中有“二分二至，无亏余遂之踪；大馀小馀，允叶容成之度”之语，也不过是借以泛言时刻。其他在提及节气或时间时给出准确的大馀、小馀数据的，一例也没有。原因大概是，能够真正掌握这种算法的人很少。一般历书是查不到大馀、小馀数据的。杜甫又一次让我们见识了他的出人意料之处。

要解释这个问题，不能不联想到写作此文的时间背景。《新唐书·历志三》记载：

至肃宗时，山人韩颖上言《大衍历》或误，帝疑之。以颖为太子宫门郎，直司天台。又损益其术，每节增二日，更名《至德历》，起乾元元年用之，讫上元三年。

原来，杜甫写作此文恰在行用《至德历》期间。《至德历》的具体内容不详，除去这条简略记述外别无记载。据《唐会要》卷四二，颁韩颖所造新历在乾元元年六月十七日。此月，杜甫恰好自朝内外放华州司功参军。唐代所行不同历法所设的上元甲子积年及通法是不同的，这直接关系到各节气小馀数字的计算。代宗时所行五纪历，即恢复唐初麟德历所用通法1340（见《新唐书·历志五》），与《大衍历》不同。这样，在推算冬至或其他节气时，小馀数也必然与《大衍历》不同。《至德历》所设通法与《大衍历》是否相同，不得而知。按改历的一般情况来看，应该有所变化。此外还要考虑到，尽管当时朝廷所颁《至德历》也应在蜀中实行，但其算法却未必为众人所知，而杜甫却早在开元、天宝年间即研习过《大衍历》。所以基本可以肯定，此文所作演算当据《大衍历》无疑。

那么，在朝廷行用《至德历》背景下，使用《大衍历》作此演算有何意义呢？我们在这里不必作太多的政治联想，毕竟这只是一篇普通的应景文字，但在文中直接给出大馀、小馀数确实不同寻常。大馀其实只是干支日的另一种表示，稍通历法的人就可以据干支换算出大馀数，或进行相反计算，而且不管怎样改历，干支（大馀）都不会有变。但给出大馀数的结果是必然同时给出小馀数，而小馀数则必须是经过演算才能得出来的，是采用某一种历法的确切表示。而且不通历法的人，或者没有经过一番演算，根本就看不出这种表示的意义，不知道作者为何给出这两个数据。这正是此文记述大馀、小馀数的深意所在。笔者认为，这是杜甫表达他对开元盛世怀念的一种方式，与这一时期他的许多诗作的主题相通。而这种表达是专门写给少数知音（唐兴县宰王潜或是其一？）以及内行人士看的。可惜的是，由于历算之学太过专门，一般文人知之甚少，历代注家竟然都没有读懂。

《傅璇琮先生八十寿庆论文集》，中华书局2012年

1. 此诗《续古逸丛书》影印《宋本杜工部集》卷十六卷目有，正文缺。《钱注杜诗》在卷十五，上海古籍出版社1979年排印本，第557页。
2. 林继中辑校《杜诗赵次公先後解辑校》戊帙卷一，上海古籍出版社1994年，第874页。
3. 黄希、黄鹤《补注杜诗》卷三二，影印《四库全书》本，第1069册，第613页。
4. 王嗣奭《杜臆》，上海古籍出版社排印本1983年，第230页。
5. 朱鹤龄《杜工部诗集辑注》文集卷一，河北大学出版社2009年，第864页。
6. 仇兆鳌《杜诗详注》卷二四，中华书局1979年，第2118页。
7. 《杜工部诗集辑注》，第879页。
8. 唐兴县即蜀州唐安县。《元和郡县图志》卷三一蜀州：“唐兴县，望。西北至州四十里。本汉江原县地，后魏于此立犍为郡。……武德元年于废州置唐隆县，属益州，垂拱二年割入蜀州。先天元年以犯讳改为唐安，至德二年改为唐兴县。”新旧《唐书·地理志》蜀州唐安县，皆未载其至德改名。旧注皆引东川遂州唐兴县，天宝元年改为蓬溪，谓此文及《逢唐兴刘主簿弟》等诗沿旧称，误。
9. 《杜诗详注》卷二五，第2207页。
10. 杨伦《杜诗镜铨》文集卷一，上海古籍出版社1981年，第1076页。
11. 《旧唐书·历志三》作“九千六百六十六万一千七百四十算”，误。此据《新唐书》。
12. 《旧唐书》卷三四《历志三》，中华书局1975年，第1232页。
13. 《旧唐书》卷三四，第1232页。
14. 《旧唐书》卷三四，第1232页。
15. 参见张培瑜等《中国古代历法》第八章大衍历，中国科学技术出版社2008年，第487页。
16. 《全唐文》卷一七四《漏生夜睡不觉失明，天晓已后，仍少六刻不尽，钟鼓既晚，官司失朝》，中华书局影印1982年，第1773页。
17. 专门讨论历法问题的不在此列，如傅仁均《对王孝通驳历法议》（《全唐文》卷一三三）。元稹《景申秋八首》（《全唐诗》卷四一〇）：“风头难着枕，病眼厌看书。无酒销长夜，回灯照小馀。三元推废王，九曜入乘除。廊庙应多算，参差斡太虚。”是诗歌中仅见用此语者。
18. 《新唐书》卷二七《历志三下》，中华书局1975年，第635页。
19. 朝廷所颁只能是日历形式的历书，算法必须另有专书。《新唐书·艺文志三》历算类著录《开元大衍历》一卷、《宝应五纪历》四十卷、《建中正元历》二十八卷等皆是此类专书，但这类书必然流传不广。《至德历》的算法书是否写成，也不得而知。
20. 《旧唐书·代宗纪》载：宝应元年九月“甲午，秘书监韩颖、中书舍人刘烜配流岭表，寻赐死，坐狎昵李辅国也。”事又见《新唐书·宦者传》。从时间上看，杜甫未必赶上与韩颖同朝处事。如果杜甫曾与闻其人，必是十分厌恶的。