刘应明专长于模糊数学与拓扑学。通俗地说，模糊数学就是在问题已知条件不充分、不精确、不完备的情况下，通过数学处理，得出有价值的结论的数学；拓扑学就是研究一种变化趋向、连续性的数学。的确，对于一般人难以接受这样的解释。
１９７５年的那个雨雪交加的一天，趁寒假刘应明提着简单的行囊，艰难地走在泥泞的山路上，来到雅安县草坝乡探亲。草坝乡村中学坐落在一个田埂环绕的山丘上，这里距离成都３００余里。刘应明的妻子吴玉群就在这个由已历百年的法国教堂改建的乡村学校任教。
他们夫妻结婚几年，却是聚少离多，唯一团聚的日子就是学校的寒暑假。说是探亲，他却带着满脑子未解的"题"，带着无法停顿的思索来的。一年前，他与川大数学系的老师自行组织了研讨班，研讨刚刚开始出现的不分明拓扑学。可惜不到一年，一场"政、教不分明"的风波，使这个研讨班不得不宣告解散。研讨班虽然停止了，可研讨中的问题却日夜缠绕在刘应明的脑中，他要继续研究，只有躲开没完没了的大会小会。于是，就有了这一次的"探亲"。善解人意的妻子为了让他避开干扰，特地从学校借来一间平房，让他潜心研究。
日复一日过去了，又一个傍晚来临，他依然走到学校附近的田埂散步，一边走，一边不停地思索。天却突然阴沉起来，细雨也纷纷落了下来。不一会儿，他身上全都被雨打得湿漉漉的，而他却全然不知，思想的链条紧绷着。走着，走着，眼前蓦然一亮，思索了多日的问题，终于有了线索。他急忙回到房间计算起来。接下来荒郊索居的"探亲"日子里，他夜以继日，终于完成了一篇２万余字的论文《不分明拓扑学---不分明点的邻近构造与Ｍｏｏｒｅ－Ｓｍｉｔｈ收敛》。
这篇共１４章、长达２万余字的数学论文在提交中国科学院数学所审查时，得到很高的评价，并在两年后的１９７７年《四川大学学报》复刊上得以刊出。随着英文版在美国发表，被国内外同行广泛引用。就是这篇论文提出了一种崭新的邻近构造，首创一种与传统概念不同的重域系，被国内外同行普遍认为奠定了不分明拓扑学（即模糊拓扑学）有点化流派基础。有关成果还引起人工智能、多值逻辑专家的高度重视、运用。
随着深入的分析研究，他又综取有点化与无点化两家之长，在嵌入理论、度量化理论、紧化理论等方面取得了一系列突破，并写出了一系列论文。他还在不分明拓扑学中相关的代数与序结构研究中取得高水平成果，成为同行中"代数化流派"的代表人物，被称为"开辟了崭新的研究方向"，"赋予不分明拓扑以新的生命"。牛津大学数学系主任吉姆斯主编的英国伦敦数学会蓝皮书评价为："重域系的建立，极富创见性，是目前为止最成功的成果"。前苏联《数学进展》认为刘的有点化流派"克服了传统的严重障碍"。美国权威性评论杂志《数学评论》对此多次评论，认为"解决了重要问题"。这标志着刘应明研究的高峰期的到来，而且奠定了他在数学界的学术地位。
爱国同胞和国际友人真挚热烈的祝贺使他真正领会
到了一个人如何才能对国家有所贡献
"文革"结束后，科学的春天到来了。刘应明也同千千万万科技工作者一样，沐浴在和煦的春风里。一篇接一篇论文开始在国内外重要的学术刊物上登载，一项又一项引人瞩目的科研成果纷纷被他采撷。真可谓厚积十余载，薄发于一朝。
采访时，记者问哪一件事对他影响最大。刘应明这样作答："邓小平同志复出、改革开放，对我影响最大。"其实，这何止于他本人，更是对一代人、乃至一个民族影响深远。说到最遗憾的事，他无奈地笑了笑："知识分子的春天来得太迟、太迟了！如果是我２０岁时来的，我为国家为科技方面完全可能会做更多的事。"
１９７８年，成都，中国数学学会第三次代表大会。作为东道主之一的四川大学论文太少，就想到了整日埋头研究的刘应明，他被慌忙拉来应阵。这使刘应明在中国数坛初露锋芒。
