伽辽金法加权余量积分式的推导, 比用广义变分原理推倒变分方程简单得多, 所以本书中三维情况下的大地电磁变分方程采用了伽辽金方法。但是, 伽辽金方法有一个缺点, 微分算符￡出现在式(2.30)中的积分号内, 与变分法的泛函相比, 具有更高阶的微商, 形函数应该具有较高的阶次的连续性, 这往往给形函数的构造带来极大的困难, 为了避免上述困难, 可以对式(2.30)进行分部积分, 或应用格林公式, 来降低微分项的阶次。
2.2.2 三维MT边值问题的Galerkin有限元方程
式(2.15)和(2.16)定义了MT问题的边值问题。借助于矢量恒等式B·(×A)=A·(×B)+·(A×B)和Gauss分部积分公式, 其对应的变分为
b(E, V)=f(V), V∈H(curl) (2.31)
上式中, H(curl)={V‖V∈L2(Ω), V×n=n×V0}, b为双线性表达式, f 为单线性表达式:
b=∫Ω(×E·×V-iωμσE·V)dΩ (2.32)
如果在此就考虑方程(2.16)所示的Dirichlet边界条件作为本书的源项, 右端项f可表示为:
f=∮ΩV·E0dΓ (2.33)
式(2.33)表示在边界上对已知的电场E0作边界积分。
为了求解方程(2.32)所表示的电场分布, 本书在此采用矢量有限元的方法。在矢量有限元法中, 需要首先把整个求解区域离散化成一系列的六面体单元。与节点型有限元不同之处在于, 在网格六面体单元中的每条边的切向上定义单标量的切向电场值E。考虑任意的六面体单元e, 在e中电场的近似表达式为:
