2.2 三维MT的伽辽金有限元公式
里兹变分原理和广义变分原理数理基础牢固, 公式也有明确的物理解释, 能够为有限元数值计算提供稳定性和准确性的保证。在三维谐变电磁场研究工作中, 由于控制方程的算子的非正定性和非自伴性, 在希尔伯特(Hilbert)空间中不存在等价的里兹变分问题。对于三维大地电磁, 应用广义变分原理求取相应边值问题的泛函过程比较复杂。因此, 本书中应用直接从微分方程出发的伽辽金(Galerkin)法来求解三维大地电磁场的泛函。伽辽金(Galerkin)法的最大的优点就是求解过程较为简单, 因此在有限元求解中广泛的应用。
2.2.1 伽辽金(Galerkin)法
伽辽金法是一种有效的加权余量法。如果边值问题存在着相应的泛函, 伽辽金(Galerkin)法与变分法将得出同样的结果。考虑到本书研究的是矢量有限元, 因此以矢量Φ为研究对象来推导伽辽金(Galerkin)法相关公式。
若Φ准确满足边值问题
作为近似解, 其中αi是待定系数。近似解应在整个区域上有定义, 而且满足边界条件。但由于Φ不满足微分方程, 将Φ代入式(2.17)中的第一式后, 将有误差, 或者称为余量
R=￡(Φ)-p (2.19)
可以选择系数αi, 使得在某种平均意义上, 余量R为零。为此, 引入一组权函数ωi, 使余量的加权积分为零
∫ΩωiRdΩ=0 (i=1, 2, …, n) (2.20)
由n个不同的权系数, 从上式得到n个方程, 由此可以求解式(2.17)中n个系数αi。采用不同的权系数, 就得到不同的计算方法, 如配点法、 最小二乘法和伽辽金法等, 下列介绍伽辽金法权系数的计算。
