爱因斯坦对理论物理的影响

1979年，是爱因斯坦百年诞辰，世界各地开会纪念。7月，在意大利特里亚斯特（Trieste）举行的第二届马赛耳·格罗斯曼（Marcel Grossman）会议上，杨振宁作了报告“Einstein's Impact on Theoretical Physics”，原载Physics Today，1980年6 月。中译文载《读书教学四十年》，香港：三联书店，1985年。译者：甘幼玶、黄得勋。

对称支配相互作用，几何是物理的核心，形式美在对世界的描述中极为重要，这些都是对当前的思想有着深刻影响的见地。

本世纪初，发生了三次概念上的革命，深刻地改变了人们对物理世界的认识。这三次革命是：狭义相对论（1905）、广义相对论（1915）和量子力学（1925）。爱因斯坦本人发动了头两次革命，影响并帮助形成了第三次革命。然而，我这里所要谈的，并非他在这些概念革命中的工作。关于这方面的文章已经不少了。我要概略讨论的是爱因斯坦对理论物理结构的见地及其与本世纪下半叶物理学发展的关系。我的讨论将分作四部分，当然，这四部分是密切相关的。

对称支配相互作用

基础物理学中发现的第一个重要的对称原理是洛伦兹（Lorentz）不变性。这是作为麦克斯韦（Maxwell）方程的数学性质而被发现的，而麦克斯韦方程则是在电磁学实验定律的基础上建立起来的。在这一历史过程中，不变性，或者说对称性，只是次要的发现。后来赫曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）倒转了这一过程。爱因斯坦在其自传笔记^[1]中对此大加赞赏。闵可夫斯基引入的观念是从洛伦兹不变性入手要求场方程不变，如表80b.1所示。

表80b.1　对称性与物理定律

对称原理的巨大物理成果给爱因斯坦留下了极为深刻的印象。他于是悉心研究以求扩大洛伦兹不变性的范围。他的广义坐标不变性的想法，加上等价原理，导致出了广义相对论。所以可以说，是爱因斯坦首先用了对称支配相互作用这一原则。它是近年来出现的各种场论的基础，这些发展包括：

• 坐标变换不变导致广义相对论

• 阿贝尔（Abel）规范对称导致电磁学

• 非阿贝尔规范对称导致非阿贝尔规范场

• 超对称导致费米（Fermi）子和玻色（Bose）子间的对称理论

• 超引力对称导致超引力场论

场论与统一

1920年以后，爱因斯坦在他的论文及讲演中反复强调，场概念对于基础物理具有核心重要性。例如，1936年，他在刊载于《富兰克林学院学报》上的一篇论文中写道^[2]：

法拉第和麦克斯韦的电场理论把物理从这不能令人满意的局面下解脱出来，这也许是牛顿时代以来基础物理的最深远的转变。

那个时候（1936）已知的两个场论，一是麦克斯韦的理论，一是爱因斯坦的广义相对论。爱因斯坦在他生命的最后二十年致力于将这两个理论统一起来。1934年，在一篇题为《物理学上关于空间、以太及场的问题》^[3]的论文中，他解释了这样做的必要性：

……存在着两种互相独立的空间结构，一种是度规-引力，一种是电磁……我们被激起这样的信念，即这两种场必须结合成统一的空间结构。

在《相对论的意义》一书的最后版本中，爱因斯坦加了一篇附录，里面提出了一个有非对称度规gμυ的统一理论。反对称部分被认为是电磁场张量fμυ。这一努力并不特别成功，以致有些人曾一度有一种说法，以为统一只是爱因斯坦晚年的一种奇妄的想法。是的，这确是奇妄的想法，可是是有洞察力的奇妄想法，是洞察到理论物理学的基础结构的想法。今天，我应该加一句，爱因斯坦的这个想法已成了基本物理学的主题。

而且，爱因斯坦对统一的强调立刻产生了效果。它使好些杰出的数学家，包括杜利奥·列维-西维塔（Tullio Levi-Civita）、埃利·嘉当（Elie Cartan）和赫尔曼·韦耳（Hermann Weyl）等更深入地探索对时空的数学结构进行增补的可能性。

自1918年、1919年开始，韦耳努力要将电磁学与引力结合起来。他提出了“规范理论”^[4]。既然正确处理坐标不变产生了引力理论，韦耳认为一个新的几何不变性能够产生电磁理论。他因而提出了规范不变。

如果xμ和xμ＋dxμ是相邻的两个时空点，f是某物理量，它在xμ为f，在xμ＋dxμ为，韦耳研究随时空而变的f的重新标度。如表80b.2中最后两行所示。请特别注意第三行所给的标度因子

表80b.2　标度变换

［上面应用了记号，并且用了求和惯例。］

关于此标度因子，韦耳观察到两点。第一，Sμ有着与电磁势Aμ同样数目的分量。第二，经过进一步研究，他证明如果要求这个理论在标度改变（1）下保持不变，那么只有Sμ的旋度，而不是Sμ自身有物理意义。而这也正是电磁势Aμ的特点。因此，他认为Sμ和Aμ乘一系数等同。可是这一想法行不通。好几位物理学家为此进行了讨论，其中包括爱因斯坦。爱因斯坦证明韦耳的理论不可能描述电磁学。韦耳于是放弃了他的想法。

到了1925年，量子力学问世，这是与韦耳的理论完全无关的发展。

大家知道，在经典力学中，在有电磁力参与的情况下，出现的不是粒子动量Pμ，而总是下面的组合：

在量子力学中，πμ变成

这是由符拉基米尔·亚历山大罗维奇·福克（Vladimir Alexandrovitch Fock）于1927年指出来的^[5]。紧接着，弗利茨·伦敦（Fritz London）将（3）和表80b.2中最后一公式中的增量算符作了比较^[6]，得出结论说，Sμ不和Aμ等同，而等同于（。这和韦耳的最初设想的不同只是加入了一个因子。可是这个因子影响深远。公式（1）因而变成了

这是相位的改变而不是标度的改变。因此，局部的相不变是电磁现象的量子力学特性。

韦耳自己开头曾经将此概念称为“Masstab Invarianz”，后来又改称“Eich-Invarianz”。20年代初，这一名称被翻译为英语，叫作“gauge invariance”，以后中译为规范不变。若我们今天将它重新命名，很明显，应该称之为相不变。同样，规范场其实应当称为相场。

一旦懂得规范不变即相不变，便会发现，关键是一个不可积分的相因子。如果用复杂的相［即李（Lie）群的一个元素］，取代简单的复数相，便进一步得到非阿贝尔规范理论。这个推广最初于1954年被提出。

这里我们要强调，相的概念在现代物理学中具有巨大的实际意义。例如，超导理论、超流理论、约瑟夫逊（Josephson）效应、全息术、量子放大器及激光等，都以各个不同形式的相概念为根基。

1967年，史蒂文·温伯格（Steven Weinberg）和阿布道斯·萨拉姆（Abdus Salam）各自独立地提出了一个电磁与弱相互作用统一理论的模型。此模型基于两个关键概念：非阿贝尔规范场及破缺对称。又由于谢尔登·格拉肖（Sheldon Glashow）的工作，认识到需要一个重要的进一步的思想来消除模型与实验之间的矛盾。最近六年来，此模型取得了令人惊异的实验上的支持。这一成功激发出一个蓬勃的局面，使许多人在为强相互作用、电磁相互作用和弱相互作用一起的更大的统一而努力。我认为，我们离成功的大统一仍然还有一段距离，而离这些相互作用与广义相对论的全盘统一更远。可是，已经不容怀疑的是爱因斯坦洞察力的深与准：他曾面对种种公开和未公开的批评，始终坚持统一的重要性并勇敢地为之辩护。

物理学的几何化

在爱因斯坦关于理论物理基础的信念中，另一个经常出现的主题，出自爱因斯坦对几何概念的偏爱。这并不奇怪，因为提出重力和力学应该用黎曼几何来描述这个意义深远的概念的人，正是爱因斯坦自己。他认为，电磁学也是几何的。这个观点在他1934年发表的上面引过的一篇论文中已很清楚地提到：他在该文中说，电磁学是一种空间的“结构”。如果我们接受爱因斯坦偏爱几何的论点，那么甚至可以把这论点进一步发挥，认为爱因斯坦喜欢波动力学，因为它比较几何化，而他不喜欢矩阵力学，因为它比较代数化。

爱因斯坦竭力要找出产生电磁学的那种几何结构。他了解这样一个事实，即洛伦兹不变并不足以导出麦克斯韦方程^[7]：

麦克斯韦方程导致“洛伦兹群”，但“洛伦兹群”并不导致麦克斯韦方程。

例如，标量场看来比麦克斯韦的电磁场简单，也不违背洛伦兹不变性，但却不是电磁学的基础。

爱因斯坦也深刻认识到必须有一种导致非线性方程的几何结构^[1]：

正确的定律不可能是线性的，它们也不可能从线性导出。

原来，爱因斯坦在寻求的结构是规范场：正如我们将要讨论到的那样，它是一种几何结构；最简单的阿贝尔规范场是麦克斯韦的电磁场；而非阿贝尔规范场必定是非线性的。

前几分钟我们谈过规范场的初期历史。只是到了近年，物理学家才懂得规范场和纤维丛（fiber bundle）上的关联（connection）这个几何概念有密切关系。为了显示规范场的几何本性，让我们把高斯定律和法拉第定律写成下述大家熟知的形式：

图80b.1
一个区域的边界是没有边界的。此Moebius条带仅有一个表面，其边界是单一边缘，可是边缘本身并无边界。关于此定理的进一步解释，见图80b.2（文内所有插图皆由Louis Fulgoni作。）

图80b.2　拓扑学定理
一个区域的边界本身没有边界。在左图中，带阴影的二维区域有一个一维圈作其边界。此圈没有端点，即它本身并无边界。
中图的三维区域由一个封闭的二维曲面限定其范围。这个曲面同样无边缘，也就是无边界。
若我们将此区域割开，抛去下部，则给了曲面一边缘。但同时我们另外创造出一个平面，如右图所示。此图中的三维区域的边界包括两部分，一为曲面，一为平面。每一部分都有边界，这两个边界正好方向相反，互相抵消，所以右图的三维区域的总边界也没有边界

图80b.3　规范场的全局效应
强度为g的磁单极是一个简单而自然的概念。狄拉克在1931年指出，在量子力学中，g值与电荷e的关系必须由下述条件决定：整数。原来，这个条件是拓扑学里非常普遍且意义深远的陈-韦尔（Chern-Weil）定理的一个最简单的特例。陈-韦尔定理的又一个最简单的例子是1975年发现的SU2规范场的所谓“瞬息子”。特霍夫特-泡利雅柯夫单极是某种规范场的无奇点解。它的存在与拓扑性质有关。
博姆-阿哈罗诺夫实验是1959—1960年间提出并进行的。如图所示，由电子源发出的电子从一个长螺线管两旁经过，但不能进入管内。电子在屏幕上产生一个干涉图案。螺线管外既没有电场，也没有磁场，因此电子没有受到电磁力。然而干涉图案却与管内的磁通量有关。这表明电磁的效应并不完全是局域的

式中fμυ是电磁场。可以证明，这个方程和“一个区域的边界本身并没有边界”这个定理有深刻的关系，而此定理当然是一个几何命题（参看图80b.1与图80b.2）。规范场的几何本性的另一个表现可以从这样一个事实看出，即通过下述理论和实验上的发展，对规范场来说，全局（global）的考虑变得重要起来：

• 狄拉克的磁单极（1931）。

• 博姆-阿哈罗诺夫（Bohm-Aharonov）实验（1960）。

• 特霍夫特-泡利雅柯夫（'t Hooft-Polyakov）单极（1974）。

• 瞬息子（instanton）（1975）。

图80b.3阐述了上述思想。

规范场本质上也同广义相对论有关，而后者的基础是几何概念。但它们之间的准确关系相当难以捉摸，目前仍在探讨。

关于理论物理的方法

1933年，爱因斯坦在他的赫伯特·斯宾塞（Herbert Spencer）讲座中，以本节的小标题为题，分析了理论物理的意义及其发展。下面几段令人瞩目的文字就是引自他的演讲^[8]：

理论物理的基本假设不可能从经验中推断出来，它们必须是不受约束地被创造出来……

经验可能提示某些适当的数学概念，但可以非常肯定地说，这些概念不可能由经验演绎出来……

但创造寓于数学之中。因此，在某种意义上我认为，单纯的思考能够把握现实，就像古代思想家所梦想的那样。

爱因斯坦是否在说，基础理论物理是数学的一部分？他是否在说，基础理论物理应该具有数学的传统和风格？答案是否定的。爱因斯坦是物理学家而不是数学家。而且，他本人也自认为如此。他在自传笔记里^[1]对此中原因说得十分透彻：

这显然是因为我在数学方面的直觉不够强，不能把最重要的、真正基本的、同其余多少可以废弃的腐学清楚地区分开来。除此之外，我对大自然的兴趣无疑要浓厚得多。而且，作为一个学生，我并不清楚，要掌握物理学基本原理方面的更渊博的知识，离不开非常错综复杂的数学方法。经过多年的独立科学研究，我才逐渐明白了这个道理。当然，物理学本身也分成了许多独立的领域，其中每一个领域都可以消耗我们短促的一生的全部精力，还不一定能满足我们获得更深奥知识的欲望。在这里，大量彼此间无联系的实验数据也是人们难以招架的。可是在这个领域中，我很快就学会从一大堆充斥我们的头脑、分散我们对本质事物注意力的东西中，分辨出哪些可能导致根本性的结果，而置其他于不顾。

但是爱因斯坦从自己的经验及本世纪初物理学的几次大革命中认识到，虽然实验定律一直是（而且继续是）物理学的根基，然而，数学的简和美对于基础物理概念的形成起着越来越大的作用。他把“接近于经验的”理论和更数学化的理论进行了比较^[7]：

另一方面，必须承认，如果一个理论的基本概念和假设接近于经验，它就具有一种重要的优越性，人们对这样的一种理论自然就有更大的信心。尤其因为用经验去反驳这些理论既省时又省力，所以被完全引入歧途的危险性就比较小。然而，随着认识的深入，我们要寻求物理理论基础的逻辑简单性和一致性，因而我们要放弃上述的这种优越性。

为了防备物理学界的误解，他申辩道^[3]：

一个理论科学家就越来越被迫让纯粹数学的、形式的思考来引导他……这种理论家不应该被斥为空想家，相反，他应该有自由想象的权利，因为，要达到目的，别无他法。

基础理论物理和数学之间的关系，是一个引人入胜的题目。说到这里，请允许我给大家讲一个故事。

规范场与纤维丛理论有关系，这给我留下了深刻印象。我在1975年驱车前往陈省身先生在伯克利（Berkeley）附近El Cerrito的寓所。40年代初期，当他是中国昆明西南联大的年轻教授而我是该校的学生时，我曾听过他的课。那时，纤维丛在微分几何里还未显示出重要性，陈教授也还未以他对高斯-波涅特（Gauss-Bonnet）定理的推广及建立陈氏级（Chern Classes）所作的贡献而创造历史。我们谈了许多：朋友们，亲戚们，中国。当我们的谈话转到纤维丛理论时，我告诉他，我终于从吉姆·西蒙斯（Jim Simons）那里学到了纤维丛理论和意义深远的陈-韦尔定理的美妙。我说，规范场恰是纤维丛上的关联，而后者是数学家在不涉及物理世界的情况下发展起来的，这实在令人惊异。我还加了一句：“这既令人震惊，也令人迷惑不解，因为你们数学家凭空梦想出了这些概念。”他马上提出异议：“不，不。这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”

虽然数学和物理学关系密切，但是，如果以为这两门学科重叠得很多，则是错误的。事实不是这样。它们各有各的目标和爱憎。它们有明显不同的价值观和不同的传统。在基本概念上，二者令人诧异地具有某些共同的概念。然而，即使在这些方面，二者的生命力也向着不同的方向奔驰。

注释：

[1]A．Einstein，“Autobiographical Notes”，in Albert Einstein，Philosopher-Scientist，P．A．Schilpp，ed.，Open Court，Evanston，Ill．（1949）.

[2]A．Einstein，J．Franklin Inst．221，43（1936）.

[3]A．Einstein，in Mein Weltbild，Querido，Amsterdam（1934），translated in Ideas and Opinions，Bonanza，New York（1954）.

[4]关于规范场的简史，见杨振宁：Ann．N．Y．Acad．Sci．294，86（1977）。

[5]V．A．Fock，Z．Phys．39，226（1927）.

[6]F．London，Z．Phys．42，375（1927）.

[7]A．Einstein，Sci．Am.，April 1950，p.13.

[8]A．Einstein，On the Method of Theoretical Physics，Clarendon，Oxford（1933）；reprinted in ref．3.