在花剌子模的讲义中,他讨论了这样一个二次方程式:
x2+10x=39
当然,花剌子模并不是这样表述二次方程式的,他使用的是文字而非符号的表述方法。花剌子模的书里是这样写的:什么数的平方加上这个数的10倍等于39?把这个问题“翻译”为今天通行的数学语言,就是我们上面写出的这个二次方程式。
与我们上面举出的两个一次方程式相比,求解这个方程式显然要棘手得多。我们怎么才能把这个方程中的x孤立出来,从而求得它的值呢?上面使用的移项技巧以及方程式两边同时乘以(或除以)一个常数的方法在这里显然不够用,因为顾得了x就顾不了x2,即使你把这两者之中的x孤立出来,另一个必然还会在那里碍手碍脚。比如,我们可以把方程式的两边同时除以10,这样10x就被简化成了x,但是,我们也会随之得到一个非常讨厌的x2/10,方程式还是没有解出来。总的来说,这个问题的难点是,我们需要同时做两件事情,而这两件事情看起来又似乎互不相容。
那么,花剌子模是怎么解决这类问题的呢?他的解法值得我们好好分析一下:一是因为他给出的解法非常简洁明了,二是因为他的解法极为强大—这种解法可以一步到位,解出任何二次方程式的根。也就是说,你可以把上述方程式中的10和39换成其他任何数字,这个方法仍然有效!
这个方法就是:用几何意义来诠释二次方程式中的每一项。首先考虑x2的值,它的几何意义是一个x乘以x的正方形的面积,如下图所示:
类似的,第二项10x的几何意义是一个10乘以x的长方形的面积。花剌子模进一步巧妙地把这个10乘以x的长方形一分为二,表示为两个5乘以x的长方形(这一步的妙处我们在下面自然会看到,这是“配方法”的基础)。
下面,我们把两个长方形和先前的正方形拼到一起,形成一个有缺口的形状,这个图形的面积就是x2+10x 。
现在,花剌子模把求解方程式的问题几何化了,问题就变成:如果上述形状的面积为39个单位,那么x应该是多少呢?
上面这幅图已经给出了十分清楚的提示,既然这个形状缺了一角,为什么我们不把它补全呢?补出这个小正方形之后,我们就得到了一个完美的大正方形。这说明什么呢?仔细看看下图。
补足的这个小正方形的面积是5×5=25,也就是说,左图大正方形的面积是x2+10x+25,因为这个图形现在是边长为(x+5)的一个正方形。